g11m-1.5· Fəsil 1: Ədədlər və ifadələr· ~13 dəq

Çoxluqlar və məntiq elementləri

Çoxluq üzərində əməllər (birləşmə, kəsişmə, fərq), Venn diaqramı, elementlərin sayı və sadə məntiq.

Çoxluq müəyyən əlamətə görə birləşdirilmiş elementlər yığımıdır. Əsas əməllər: birləşmə $A \cup B$ (heç olmasa birinə daxil olan elementlər), kəsişmə $A \cap B$ (hər ikisinə daxil olanlar), fərq $A \setminus B$ ( $A$ -da olub $B$ -də olmayanlar).

Elementlərin sayı üçün daxiletmə-istisna düsturu işləyir: $n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B)$ . Boş çoxluq $\varnothing$ heç bir elementi olmayan çoxluqdur; $A$ çoxluğunun altçoxluqlarının sayı $2^n$ -dir ( $n$ — elementlərin sayı).

Məntiq elementlərində mülahizələrin doğru/yalan qiymətləri, inkar, «və»/«və ya» bağlayıcıları öyrənilir.

📌Nümunə

Məsələn: bir sinifdə $18$ şagird ingilis, $15$ şagird alman dilini öyrənir, $7$ nəfər hər ikisini öyrənirsə, heç olmasa bir dil öyrənənlərin sayı $18+15-7 = 26$ -dır.

Əsas terminlər

Birləşmə

A \cup B

— Heç olmasa

A

-ya və ya

B

-yə daxil olan bütün elementlərdən ibarət çoxluq.

Kəsişmə

A \cap B

— Həm

A

-ya, həm də

B

-yə daxil olan ortaq elementlərdən ibarət çoxluq.

Fərq

A \setminus B

—

A

-da olub

B

-də olmayan elementlərdən ibarət çoxluq.

Boş çoxluq

\varnothing

— Heç bir elementə malik olmayan çoxluq; o, hər çoxluğun altçoxluğudur.

Altçoxluq —

n

elementli çoxluğun bütün altçoxluqlarının sayı

2^n

-dir; boş çoxluq da daxildir.

Daxiletmə-istisna düsturu —

n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B)

; ortaq hissə iki dəfə sayılmasın deyə çıxılır.

Çoxluq əməllərinin düsturları

Əməl	İşarə	Mənası
Birləşmə	$A \cup B$	Heç olmasa birinə daxil olanlar
Kəsişmə	$A \cap B$	Hər ikisinə daxil olanlar
Fərq	$A \setminus B$	$A$ -da olub $B$ -də olmayanlar
Element sayı	$n(A \cup B)$	$n(A)+n(B)-n(A \cap B)$
Altçoxluq sayı	$2^n$	$n$ — elementlərin sayı

Əsas çoxluq əməlləri və sayma düsturları.

Nümunə:

A=\{1,2,3\}

B=\{3,4,5\}

Əməl	Nəticə
$A \cup B$	$\{1,2,3,4,5\}$
$A \cap B$	$\{3\}$
$A \setminus B$	$\{1,2\}$
$B \setminus A$	$\{4,5\}$

Ortaq element $3$ birləşmədə bir dəfə yazılır, kəsişməyə daxildir.

✎Daxiletmə-istisna ilə çıxma:

n(A \cap B)

tapmaq

1Verilənlər: $n(A \cup B)=25$ , $n(A)=16$ , $n(B)=14$ ; tapılmalı $n(A \cap B)$ .
2Düsturu çevir: $n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$ olduğundan $n(A \cap B)=n(A)+n(B)-n(A \cup B)$ .
3Qiymətləri yerinə yaz: $n(A \cap B)=16+14-25$ .
4Nəticə: $n(A \cap B)=30-25=5$ .

✎Heç bir oyun oynamayanların sayı (30 nəfərlik qrup)

1Verilənlər: Cəmi $30$ nəfər; $18$ futbol, $14$ basketbol, hər ikisi $9$ nəfər.
2Birləşməni tap: Heç olmasa birini oynayanlar: $n(A \cup B)=18+14-9=23$ .
3Universumdan çıx: Heç birini oynamayanlar: $30-23$ .
4Nəticə: $30-23=7$ nəfər heç bir oyun oynamır.

🚫Tez-tez səhv

Birləşmədə ortaq elementi atmayın: $\{1,2,3\} \cup \{3,4,5\}=\{1,2,3,4,5\}$ — ortaq $3$ buraxılmamalı, lakin təkrar da yazılmaz.

⚠️Diqqət

$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$ : ortaq hissə bir dəfə çıxılır. Toplama ( $+$ ) ilə qalsa ortaq elementlər iki dəfə sayılır.

⚠️Diqqət

Element sayı ilə altçoxluq sayını qarışdırmayın: $\{a,b,c\}$ -də $3$ element, lakin $2^3=8$ altçoxluq var (boş çoxluq da daxil).

💡Qeyd

$A \cap B=\varnothing$ olduqda kəsişmə boşdur, ona görə $n(A \cup B)=n(A)+n(B)$ — sadəcə toplanır.

💡Qeyd

Fərqdə yön önəmlidir: $A \setminus B$ ilə $B \setminus A$ fərqlidir; hər ikisində ortaq elementlər çıxarılır.

Qaydalar

1Birləşmə $A \cup B$ — birinə, kəsişmə $A \cap B$ — hər ikisinə daxil olanlar, fərq $A \setminus B$ — $A$ -da olub $B$ -də olmayanlar.
2Daxiletmə-istisna: $n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B)$ .
3Boş çoxluq $\varnothing$ heç bir elementə malik deyil; o, hər çoxluğun altçoxluğudur.
4 $n$ elementli çoxluğun altçoxluqlarının sayı $2^n$ -dir.
5Venn diaqramında hər nahiyəni ayrıca işarələ, ortaq hissəni iki dəfə saymamaq üçün çıx.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq