g11m-1.2· Fəsil 1: Ədədlər və ifadələr· ~14 dəq

Üstlü və loqarifmik ifadələr

Qüvvətin xassələri, köklər, loqarifmanın tərifi və xassələri, sadələşdirmə.

Üstlü ifadələrdə qüvvətin xassələri işləyir: $a^m \cdot a^n=a^{m+n}$ , $a^m:a^n=a^{m-n}$ , $(a^m)^n=a^{mn}$ , $a^0=1$ ( $a \ne 0$ ), $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ , $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ .

Loqarifma isə üstün tərsidir: $\log_a b=c \iff a^c=b$ ( $a>0$ , $a \ne 1$ , $b>0$ ). Məsələn: $\log_2 8=3$ , çünki $2^3=8$ .

Loqarifmanın xassələri: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ , $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ , $\log_a b^n=n \cdot \log_a b$ , baza dəyişdirmə $\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$ . Onluq loqarifma $\lg=\log_{10}$ , natural loqarifma $\ln=\log_e$ .

📌Nümunə

Məsələn: $\log_2 24-\log_2 3=\log_2\frac{24}{3}=\log_2 8=3$ .

Əsas terminlər

Qüvvət (üs) —

a^n

ifadəsində

a

baza,

n

isə göstəricidir;

a

-nı

n

dəfə öz-özünə vurmaq deməkdir.

Mənfi göstərici —

a^{-n}=\frac{1}{a^n}

— mənfi göstərici işarəni yox, ədədin tərsini verir.

Kəsr göstərici —

a^{1/n}=\sqrt[n]{a}

— kəsr göstərici kök deməkdir;

a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}

Loqarifma —

\log_a b=c \iff a^c=b

(

a>0

a \ne 1

b>0

);

a

-nı hansı qüvvətə yüksəltsək

b

alınır sualıdır.

Onluq və natural loqarifma —

\lg=\log_{10}

onluq loqarifma,

\ln=\log_e

natural loqarifmadır.

Baza dəyişdirmə —

\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}

— istənilən yeni

c

bazasına keçməyə imkan verir.

Qüvvətin və loqarifmanın əsas düsturları

Qayda	Düstur
Hasilin qüvvəti	$a^m \cdot a^n=a^{m+n}$
Qismətin qüvvəti	$a^m:a^n=a^{m-n}$
Qüvvətin qüvvəti	$(a^m)^n=a^{mn}$
Sıfır və mənfi göstərici	$a^0=1$ , $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
Kəsr göstərici (kök)	$a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$
Loqarifmanın hasili/qismeti	$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ , $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$
Dərəcənin loqarifması	$\log_a b^n=n \cdot \log_a b$

Sadələşdirmədə işlədilən üstlü və loqarifmik qaydalar.

Loqarifmanın xüsusi qiymətləri

İfadə	Qiymət	Səbəb
$\log_a 1$	$0$	$a^0=1$
$\log_a a$	$1$	$a^1=a$
$\log_a a^n$	$n$	$a^n=a^n$
$a^{\log_a b}$	$b$	loqarifma üstün tərsidir

Bu qiymətlər çoxsaylı məsələləri sürətli həll edir.

✎

25^{1/2} \cdot 8^{1/3}

ifadəsini hesablayın

1Kəsr göstəricini kökə çevir: $25^{1/2}=\sqrt{25}$ və $8^{1/3}=\sqrt[3]{8}$ .
2Hər kökü hesabla: $\sqrt{25}=5$ , çünki $5^2=25$ ; $\sqrt[3]{8}=2$ , çünki $2^3=8$ .
3Vur: $5 \cdot 2=10$ .
4Cavab: $25^{1/2} \cdot 8^{1/3}=10$ .

✎

\log_2 24 - \log_2 3

ifadəsini hesablayın

1Qismət qaydasını tətbiq et: $\log_2 24-\log_2 3=\log_2\frac{24}{3}$ , çünki çıxma içəri ədədlərin bölünməsini verir.
2İçəridəki kəsri sadələşdir: $\frac{24}{3}=8$ , deməli ifadə $\log_2 8$ olur.
3Loqarifmanı hesabla: $\log_2 8=3$ , çünki $2^3=8$ .
4Cavab: $\log_2 24-\log_2 3=3$ .

🚫Tez-tez səhv

Loqarifmalar çıxılanda fərq yox, qismət alınır: $\log_3 15-\log_3 5=\log_3\frac{15}{5}=\log_3 3=1$ , $15-5=10$ deyil.

🚫Tez-tez səhv

Loqarifmalar toplananda cəm yox, hasil alınır: $\log_8 2+\log_8 4=\log_8(2 \cdot 4)=\log_8 8=1$ , $2+4=6$ deyil.

⚠️Diqqət

Mənfi göstərici işarəni dəyişmir, tərsini götürür: $10^{-2}=\frac{1}{100}$ , $-100$ deyil.

⚠️Diqqət

Üst-üstə loqarifmada əvvəl daxili, sonra xarici hesablanmalıdır: $\log_2(\log_3 81)=\log_2 4=2$ , daxili $4$ -də dayanmaq olmaz.

💡Qeyd

$a^{\log_a b}=b$ eyniliyi qısa yoldur: $3^{\log_3 7}=7$ ; baza fərqlənəndə əvvəl qüvvətini bərabərləşdir, məsələn $4^{\log_2 5}=2^{2\log_2 5}=25$ .

Qaydalar

1Qüvvətin xassələri: $a^m \cdot a^n=a^{m+n}$ , $a^m:a^n=a^{m-n}$ , $(a^m)^n=a^{mn}$ , $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ , $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ .
2Loqarifmanın tərifi: $\log_a b=c \iff a^c=b$ , burada $a>0$ , $a \ne 1$ , $b>0$ .
3 $\log_a 1=0$ , $\log_a a=1$ , $\log_a a^n=n$ , $a^{\log_a b}=b$ .
4Hasil/qismət: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ , $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ ; dərəcə: $\log_a b^n=n \cdot \log_a b$ .
5Baza dəyişdirmə: $\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$ ; xüsusi halda $\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$ .

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq