m10-8.4· Fəsil 8: Çoxüzlülər və həcmlər· ~13 dəq

Fəzada simmetriya və düzgün çoxüzlülər

Simmetriya növləri, düzgün çoxüzlülər, Eyler düsturu.

Fəzada simmetriya üç əsas növdə öyrənilir: nöqtəyə görə simmetriya (mərkəzi simmetriya), düz xəttə görə simmetriya (oxlu simmetriya) və müstəviyə görə simmetriya (güzgü simmetriyası). Müstəviyə görə simmetrik olan iki nöqtə, müstəviyə perpendikulyar çəkilmiş parçanın ortasında yerləşir.

Düzgün çoxüzlülər (Platon cisimləri) beş növdür: düzgün tetraedr (44 üçbucaq üz), kub (66 kvadrat üz), düzgün oktaedr (88 üçbucaq üz), düzgün dodekahedr (1212 beşbucaq üz) və düzgün ikosahedr (2020 üçbucaq üz).

Hər düzgün çoxüzlü üçün Eyler düsturu doğrudur: V−E+F=2V - E + F = 2, burada VV — təpələrin sayı, EE — tillərin sayı, FF — üzlərin sayıdır. Simmetriya elementləri arasında simmetriya müstəviləri, simmetriya oxları və simmetriya mərkəzi fərqləndirilir.

📌Nümunə

Məsələn: düzgün tetraedrin V=4V = 4, E=6E = 6, F=4F = 4 olduğunu yoxlayaq: 4−6+4=24 - 6 + 4 = 2 ✓, beləliklə Eyler düsturu ödənilir.

Qrafiklər

Düzgün çoxüzlülər: tetraedr, kub, oktaedr; Eyler düsturu V − E + F = 2.
Düzgün çoxüzlülər: tetraedr, kub, oktaedr; Eyler düsturu V − E + F = 2.

Əsas terminlər

Mərkəzi simmetriya — Nöqtəyə görə simmetriya; simmetrik nöqtələrin hər üç koordinatı işarəsini dəyişir, məsələn OO-ya görə P(x,y,z)P(x,y,z)-nin əksi (−x,−y,−z)(-x,-y,-z).
Oxlu simmetriya — Düz xəttə görə simmetriya; iki simmetrik nöqtəni birləşdirən parça oxa perpendikulyardır və ox onu bərabər iki hissəyə bölür.
Güzgü simmetriyası — Müstəviyə görə simmetriya; AA və A′A' üçün AA′⊥αAA' \perp \alpha və AA′AA'-nin orta nöqtəsi α\alpha müstəvisi üzərindədir.
Düzgün çoxüzlü (Platon cismi) — Hər üzü bərabər düzgün çoxbucaqlı, hər təpəsində eyni sayda üz birləşən cisim; cəmi 55 növ mövcuddur.
Eyler düsturu — Hər qabarıq çoxüzlü üçün V−E+F=2V - E + F = 2, burada VV — təpə, EE — til, FF — üz sayıdır.
Dual cisim — Bir çoxüzlünün üz mərkəzləri digərinin təpələri olan cüt; dualda V↔FV \leftrightarrow F yer dəyişir, EE isə eyni qalır.
Beş düzgün çoxüzlü (Platon cisimləri)
CisimÜz formasıVVEEFF
Düzgün tetraedrüçbucaq446644
Kubkvadrat88121266
Düzgün oktaedrüçbucaq66121288
Düzgün dodekahedrbeşbucaq202030301212
Düzgün ikosahedrüçbucaq121230302020

Hər sətirdə V−E+F=2V - E + F = 2 ödənir; tetraedr öz-özünə dual, kub ilə oktaedr, dodekahedr ilə ikosahedr dualdır.

Koordinat müstəvilərinə və mərkəzə görə simmetriya
SimmetriyaQaydaA(2,3,5)A(2,3,5) üçün nəticə
xOyxOy müstəvisizz işarəsini dəyişir(2,3,−5)(2, 3, -5)
xOzxOz müstəvisiyy işarəsini dəyişir(2,−3,5)(2, -3, 5)
yOzyOz müstəvisixx işarəsini dəyişir(−2,3,5)(-2, 3, 5)
OO mərkəzihər üç işarə dəyişir(−2,−3,−5)(-2, -3, -5)

Müstəviyə görə yalnız bir koordinat, mərkəzə görə isə bütün üç koordinat işarəsini dəyişir.

✎Eyler düsturu ilə təpə sayını tapmaq
  1. 1Verilənlər: Bir qabarıq çoxüzlünün F=10F = 10 üzü və E=15E = 15 tili var; V=?V = ?
  2. 2Düsturu yaz: Eyler düsturu: V−E+F=2V - E + F = 2.
  3. 3VV-ni təcrid et: V=2+E−F=2+15−10V = 2 + E - F = 2 + 15 - 10.
  4. 4Nəticə: V=7V = 7, yəni çoxüzlünün 77 təpəsi var.
✎xOyxOy müstəvisinə görə simmetrik nöqtə
  1. 1Verilənlər: A(2,3,5)A(2, 3, 5) nöqtəsinin xOyxOy müstəvisinə görə simmetrik A′A' nöqtəsini tap.
  2. 2Qayda: xOyxOy müstəvisi z=0z = 0-dır; ona görə simmetriyada yalnız zz koordinatı işarəsini dəyişir, xx və yy qalır.
  3. 3Tətbiq et: x′=2x' = 2, y′=3y' = 3, z′=−5z' = -5.
  4. 4Nəticə: A′(2,3,−5)A'(2, 3, -5).
⚠️Diqqət

Eyler düsturunda işarələrə diqqət: V−E+F=2V - E + F = 2 — EE mənfi, FF müsbətdir. V+E−FV + E - F və ya V−E−FV - E - F yazmaq tipik səhvdir.

🚫Tez-tez səhv

Müstəviyə görə simmetriyada YALNIZ bir koordinat işarə dəyişir. Mərkəzi (nöqtəyə görə) simmetriya ilə qarışdırıb hər üç koordinatı dəyişmək yanlışdır.

💡Qeyd

Üz forması ilə tetraedri, kubu seçmək asandır: 44 üçbucaq üz tetraedr, 66 kvadrat üz kub, 88 üçbucaq üz oktaedrdir.

⚠️Diqqət

Dual cisimdə yalnız V↔FV \leftrightarrow F yer dəyişir, EE DƏYİŞMİR. İkosahedr (V=12,E=30,F=20V=12,E=30,F=20) duali dodekahedr (V=20,E=30,F=12V=20,E=30,F=12) — E=30E=30 qalır.

💡Qeyd

Kubun simmetriya elementləri: 99 simmetriya müstəvisi (33 üzlərə paralel +6+ 6 diaqonal), 1313 simmetriya oxu və 11 simmetriya mərkəzi.

Qaydalar

  1. 1Eyler düsturu: hər qabarıq çoxüzlü üçün V−E+F=2V - E + F = 2, burada VV — təpə, EE — til, FF — üzdür.
  2. 2Düzgün tetraedr: V=4V=4, E=6E=6, F=4F=4 (hamısı bərabərtərəfli üçbucaq); kub: V=8V=8, E=12E=12, F=6F=6; düzgün oktaedr: V=6V=6, E=12E=12, F=8F=8.
  3. 3Müstəviyə görə simmetriyada AA nöqtəsinin α\alpha müstəviyinə görə simmetrik nöqtəsi A′A', AA′⊥αAA' \perp \alpha şərtini ödəyir və AA′AA'-nin orta nöqtəsi α\alpha üzərindədir.
  4. 4Düzgün çoxüzlünün hər üzü bərabər düzgün çoxbucaqlıdır; hər təpədə eyni sayda üz birləşir; bu iki şərt Platon cisimləri üçün yalnız 55 imkanı verir.
  5. 5Düz xəttə görə simmetrik iki nöqtəni birləşdirən parça həmin düz xəttə perpendikulyardır və onunla bərabər uzunluqlu iki hissəyə bölünür.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq