m10-8.3· Fəsil 8: Çoxüzlülər və həcmlər· ~13 dəq

Həcmlər və fəza fiqurlarının oxşarlığı

Həcm müqayisəsi, oxşarlıq əmsalı $k \to k^2$ və $k^3$ .

İki fəza fiquru oxşar sayılır əgər biri digərindən mütənasib artırma (və ya azaltma) yolu ilə alına bilsə. Oxşarlıq əmsalı $k$ nisbəti müvafiq xətti ölçülərin (tərəf, hündürlük, radius) nisbətidir.

Xətti ölçülər $k$ dəfə dəyişdikdə səthlər $k^2$ dəfə, həcmlər isə $k^3$ dəfə dəyişir. Bu qanunauyğunluq bütün oxşar fiqurlar üçün — prizma, piramida, kub, sfera, konus — eyni şəkildə işləyir: $\frac{V_2}{V_1} = k^3$ .

Miqyas modellərdə bu münasibət praktiki əhəmiyyət kəsb edir: misal üçün, miqyası $1:10$ olan arxitektura modelinin həcmi orijinaldan $10^3 = 1000$ dəfə kiçikdir. Oxşar piramidaların əsas tərəflərinin nisbəti $k$ olduqda, həcmlərinin nisbəti $k^3$ olur; lakin hündürlüklərin nisbəti də $k$ -dır (çünki hündürlük xətti ölçüdür).

📌Nümunə

Məsələn: əsas tərəfi $4$ sm olan kvadrat piramida ilə əsas tərəfi $8$ sm olan oxşar piramidanın oxşarlıq əmsalı $k = 2$ , buna görə həcmləri nisbəti $2^3 = 8$ -dir.

Oxşar iki kub: xətti əmsal k; səthlər nisbəti k², həcmlər nisbəti k³.

Əsas terminlər

Oxşar fəza fiquru — Biri digərindən mütənasib artırma və ya azaltma yolu ilə alına bilən iki fəza fiquru (prizma, piramida, kub, sfera, konus).

Oxşarlıq əmsalı

k

— Müvafiq xətti ölçülərin (tərəf, hündürlük, radius) nisbəti:

\frac{l_2}{l_1} = k

Xətti ölçü — Tərəf, hündürlük, radius kimi birölçülü kəmiyyət; oxşarlıqda

k

əmsalı ilə dəyişir.

Səthlərin nisbəti — Oxşar fiqurların səthləri xətti ölçülərə görə

k^2

dəfə dəyişir:

\frac{S_2}{S_1} = k^2

Həcmlərin nisbəti — Oxşar fiqurların həcmləri xətti ölçülərə görə

k^3

dəfə dəyişir:

\frac{V_2}{V_1} = k^3

Miqyas əmsalı — Miqyas

p:q

olduqda orijinalın həcmi modelinkindən

\left(\frac{q}{p}\right)^3

dəfə böyükdür.

Oxşarlıq: xətti ölçü, səth və həcm nisbətləri

Kəmiyyət	Nisbət	Tərs çevirmə
Xətti ölçü ( $l$ )	$\frac{l_2}{l_1} = k$	$k = \frac{l_2}{l_1}$
Səth ( $S$ )	$\frac{S_2}{S_1} = k^2$	$k = \sqrt{\frac{S_2}{S_1}}$
Həcm ( $V$ )	$\frac{V_2}{V_1} = k^3$	$k = \sqrt[3]{\frac{V_2}{V_1}}$

Xətti ölçü $k$ dəfə dəyişdikdə səth $k^2$ , həcm $k^3$ dəfə dəyişir.

k

-nın bəzi qiymətləri üçün səth və həcm nisbətləri

$k$	$k^2$ (səth)	$k^3$ (həcm)
$2$	$4$	$8$
$3$	$9$	$27$
$4$	$16$	$64$
$5$	$25$	$125$

Standart oxşarlıq əmsalları üçün hazır qiymətlər.

✎Səthlər nisbətindən həcmlər nisbətini tapmaq

1Verilənlər: İki oxşar piramidanın səthlərinin nisbəti $\frac{S_2}{S_1} = \frac{9}{25}$ -dir. Həcmlərinin nisbətini tap.
2Oxşarlıq əmsalını tap: Səth $k^2$ ilə dəyişir, ona görə $k = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ .
3Həcmlər nisbətini hesabla: Həcm $k^3$ ilə dəyişir: $\frac{V_2}{V_1} = k^3 = \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125}$ .
4Cavab: Həcmlərinin nisbəti $27:125$ -dir.

✎Oxşar piramidanın həcmini tapmaq

1Verilənlər: Həcmi $24$ sm³ olan piramidaya oxşar piramidanın əsas tərəfi $3$ dəfə böyükdür. Böyük piramidanın həcmini tap.
2Oxşarlıq əmsalı: Əsas tərəf xətti ölçüdür və $3$ dəfə böyüdüyündən $k = 3$ .
3Həcm əmsalını qur: $\frac{V_2}{V_1} = k^3 = 3^3 = 27$ , deməli $V_2 = 27 \cdot V_1$ .
4Hesabla və cavab ver: $V_2 = 27 \cdot 24 = 648$ sm³.

🚫Tez-tez səhv

Xətti ölçülərin nisbətini həcmlər nisbəti kimi götürmə: tərəflər $2:1$ olduqda həcmlər $2:1$ deyil, $k^3 = 2^3 = 8$ , yəni $8:1$ -dir.

⚠️Diqqət

Səth ( $k^2$ ) ilə həcmi ( $k^3$ ) qarışdırma: $k = 2$ üçün səth $4$ dəfə, həcm isə $8$ dəfə dəyişir.

⚠️Diqqət

Miqyas $1:p$ verildikdə həcm $k^1$ və ya $k^2$ ilə deyil, $k^3$ ilə artır: miqyası $1:10$ olan modelin orijinalı $10^3 = 1000$ dəfə böyükdür.

💡Qeyd

Tərs istiqamət: həcmlər nisbətindən xətti ölçüyə keçmək üçün kubkök al — $k = \sqrt[3]{\frac{V_2}{V_1}}$ ; səthlərdən isə kvadrat kök — $k = \sqrt{\frac{S_2}{S_1}}$ .

💡Qeyd

Üstün pilləsini yadda saxla: xətti üçün $k^1$ , səth üçün $k^2$ , həcm üçün $k^3$ — pillə fiqurun ölçü sayına bərabərdir.

Qaydalar

1Oxşar fiqurların xətti ölçüləri (tərəf, hündürlük, radius) $k$ əmsalı ilə mütənasibdir: $\frac{l_2}{l_1} = k$ .
2Oxşar fiqurların səthlərinin nisbəti: $\frac{S_2}{S_1} = k^2$ .
3Oxşar fiqurların həcmlərinin nisbəti: $\frac{V_2}{V_1} = k^3$ .
4Həcmlər nisbəti verildikdə oxşarlıq əmsalı: $k = \sqrt[3]{\frac{V_2}{V_1}}$ ; səthlər nisbəti verildikdə: $k = \sqrt{\frac{S_2}{S_1}}$ .
5Miqyas $p:q$ olan model üçün orijinalın həcmi modelin həcmindən $\left(\frac{q}{p}\right)^3$ dəfə böyükdür.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq

Həcmlər və fəza fiqurlarının oxşarlığı

Qrafiklər

Əsas terminlər

Qaydalar

Məşq