m10-8.2· Fəsil 8: Çoxüzlülər və həcmlər· ~13 dəq

Piramida və kəsik piramida

Piramidanın səthi və həcmi, kəsik piramida.

Piramida — əsası çoxbucaqlı, yan üzləri isə ümumi bir nöqtədə (zirvədə) birləşən üçbucaqlardan ibarət olan fəza fiqurudur. Düzgün piramidada əsas düzgün çoxbucaqlı, zirvə isə əsasın mərkəzinin tam üstündədir; bu halda zirvədən hər yan üzün əsasının ortasına endirilən perpendikulyar apofema adlanır.

Düzgün piramidanın yan səthi $S_{\text{yan}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a$ düsturu ilə hesablanır, burada $P$ — əsasın perimetri, $a$ — apofemadır. Tam səthi $S_{\text{tam}} = S_{\text{yan}} + S_{\text{əsas}}$ -a bərabərdir. İstənilən piramidanın həcmi $V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{əsas}} \cdot h$ düsturu ilə tapılır.

Apofema, hündürlük və əsasın yarı tərəfi ( $r$ ) arasında $a^2 = h^2 + r^2$ əlaqəsi Pifaqor teoremindən alınır. Kəsik piramida əsasa paralel müstəvilə piramidanın kəsilməsindən alınır; onun həcmi $V = \frac{h}{3} \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2})$ düsturu ilə hesablanır.

📌Nümunə

Məsələn: əsası $6 \times 6$ sm olan kvadrat piramidanın hündürlüyü $h = 4$ sm olduqda həcmi $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48$ sm³ olar.

Piramida (hündürlük h, apofema a, r = OM) və kəsik piramida.

Əsas terminlər

Piramida — Əsası çoxbucaqlı, yan üzləri isə ümumi bir nöqtədə (zirvədə) birləşən üçbucaqlardan ibarət fəza fiqurudur.

Düzgün piramida — Əsası düzgün çoxbucaqlı, zirvəsi isə əsasın mərkəzinin tam üstündə yerləşən piramidadır.

Apofema (

a

) — Düzgün piramidada zirvədən yan üzün əsasının ortasına çəkilən perpendikulyar (parça).

Hündürlük (

h

) — Zirvədən əsasın mərkəzinə endirilən perpendikulyar; həcm düsturunda istifadə olunur.

Yan səth (

S_{\text{yan}}

) — Bütün yan üzlərin sahələrinin cəmi:

S_{\text{yan}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a

, burada

P

— perimetr.

Kəsik piramida — Əsasa paralel müstəvi ilə piramidanın kəsilməsindən alınan, iki paralel əsası olan fiqurdur.

Piramida düsturları

Kəmiyyət	Düstur
Həcm	$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{əsas}} \cdot h$
Yan səth	$S_{\text{yan}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a$
Tam səth	$S_{\text{tam}} = S_{\text{yan}} + S_{\text{əsas}}$
Apofema əlaqəsi	$a^2 = h^2 + r^2$
Kəsik piramida həcmi	$V = \frac{h}{3} (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2})$

$P$ — əsasın perimetri, $r$ — əsasın yarı tərəfi, $S_1, S_2$ — kəsik piramidanın əsasları.

Piramida və prizma / oxşarlıq nisbətləri

Hal	Nisbət
Eyni əsas və hündürlükdə prizma / piramida	$3:1$
Oxşar piramidalarda kənarlar $k$ olduqda həcmlər	$k^3$
Hündürlüyün yarısından kəsilmiş kiçik piramida / orijinal	$1:8$
Kənarlar $2:3$ olduqda həcmlər	$8:27$

Oxşar fiqurlarda sahələr $k^2$ , həcmlər isə $k^3$ ilə dəyişir.

✎Düzgün dördbucaqlı piramidanın yan səthi (apofema Pifaqorla)

1Şərt: Əsasın kənarı $8$ sm, hündürlük $3$ sm. Yan səthi tapın.
2Yarı tərəf: $r = \frac{8}{2} = 4$ sm.
3Apofema: $a = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ sm.
4Perimetr: $P = 4 \cdot 8 = 32$ sm.
5Nəticə: $S_{\text{yan}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 5 = 80$ sm².

✎Kəsik piramidanın həcmi

1Şərt: Alt əsas kənarı $6$ sm, üst əsas kənarı $3$ sm (kvadrat), hündürlük $4$ sm.
2Əsasların sahəsi: $S_1 = 6^2 = 36$ sm², $S_2 = 3^2 = 9$ sm².
3Orta hədd: $\sqrt{S_1 \cdot S_2} = \sqrt{36 \cdot 9} = \sqrt{324} = 18$ .
4Düsturu tətbiq et: $V = \frac{h}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{4}{3}(36 + 9 + 18)$ .
5Nəticə: $V = \frac{4}{3} \cdot 63 = 84$ sm³.

🚫Tez-tez səhv

Həcmdə $\frac{1}{3}$ əmsalını unutmayın: $V = \frac{1}{3} S_{\text{əsas}} h$ . Məsələn $S=9$ , $h=6$ üçün cavab $54$ deyil, $\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 6 = 18$ sm³-dir.

⚠️Diqqət

Yan səth düsturunda apofema $a$ işlədilir, hündürlük $h$ yox. Lazım gəlsə əvvəlcə $a = \sqrt{h^2 + r^2}$ ilə apofemanı tapın.

⚠️Diqqət

Kəsik piramidada üçüncü hədd $\sqrt{S_1 \cdot S_2}$ -ni buraxmayın; yalnız $S_1 + S_2$ götürmək cavabı azaldır.

💡Qeyd

Eyni əsas və hündürlükdə prizma piramidadan $3$ dəfə böyükdür ( $V_{\text{prizma}} = 3 V_{\text{piramida}}$ ).

💡Qeyd

Oxşar fiqurlarda kənarlar $k$ dəfə dəyişəndə həcm $k^3$ dəfə dəyişir: hündürlüyün yarısından kəsilmiş piramida orijinalın $\frac{1}{8}$ -i olur.

Qaydalar

1Piramidanın həcmi: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{əsas}} \cdot h$ ( $S_{\text{əsas}}$ — əsasın sahəsi, $h$ — hündürlük).
2Düzgün piramidanın yan səthi: $S_{\text{yan}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a$ ( $P$ — əsasın perimetri, $a$ — apofema).
3Düzgün piramidanın tam səthi: $S_{\text{tam}} = S_{\text{yan}} + S_{\text{əsas}}$ .
4Apofema ( $a$ ), hündürlük ( $h$ ) və əsasın yarı tərəfi ( $r$ ) arasında: $a^2 = h^2 + r^2$ .
5Kəsik piramidanın həcmi: $V = \frac{h}{3} \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2})$ , burada $S_1$ və $S_2$ — iki əsasın sahəsidir.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq

Piramida və kəsik piramida

Qrafiklər

Əsas terminlər

Qaydalar

Məşq