m10-9.1· Fəsil 9: Məlumatlar və ehtimal· ~13 dəq

Məlumatlar, birləşmələr və ehtimal

Klassik ehtimal, toplama/vurma qaydaları, permutasiya və kombinezonlar, şərti ehtimal.

Klassik ehtimal modeli üzrə bir hadisənin ehtimalı P=mnP = \frac{m}{n} düsturu ilə hesablanır: burada mm əlverişli nəticələrin, nn isə bütün bərabərimkanlı nəticələrin sayıdır.

Birləşmələr nəzəriyyəsinin əsas alətləri: vurma prinsipi (bir mərhələ aa, digəri bb üsulla olarsa, birlikdə a⋅ba\cdot b üsul), yerləşdirmə Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} (sıralı seçim) və birləşmə Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} (sırasız seçim).

Ehtimalların hesablanmasında toplama qaydası (bir-birini istisna edən hadisələr üçün P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)), müstəqil hadisələrin hasilinin ehtimalı (P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)), asılı hadisələr üçün şərti ehtimal (P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)) və əks hadisə qanunu (P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar A)=1-P(A)) işlədilir.

📌Nümunə

Məsələn: 88 nəfərdən 33 nəfərlik komitə C83=8⋅7⋅66=56C_8^3 = \frac{8\cdot 7\cdot 6}{6} = 56 üsulla seçilir.

Əsas terminlər

Klassik ehtimal — Hadisənin ehtimalı P=mnP = \frac{m}{n}; mm — əlverişli nəticələr, nn — bütün bərabərimkanlı nəticələrdir. Həmişə 0≤P≤10 \le P \le 1.
Vurma prinsipi — Bir mərhələ aa, ardınca gələn digər mərhələ bb üsulla yerinə yetirilirsə, birlikdə a⋅ba \cdot b üsul mövcuddur.
Yerləşdirmə AnkA_n^k — nn elementdən kk-nın sıralı seçilmə sayı: Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}.
Birləşmə CnkC_n^k — nn elementdən kk-nın sırasız seçilmə sayı: Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}; CnkC_n^k və ya (nk)\binom{n}{k} kimi yazılır.
Şərti ehtimal — BB hadisəsi baş verdikdə AA-nın ehtimalı P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.
Əks hadisə — AA-nın baş verməməsi hadisəsi; P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).
Əsas düsturlar
AnlayışDüstur
Klassik ehtimalP=mnP = \frac{m}{n}
YerləşdirməAnk=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}
BirləşməCnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}
Toplama (istisna)P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A)+P(B)
Vurma (müstəqil)P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)
Əks hadisəP(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Fəslin bütün hesablamaları bu altı düstura söykənir.

Birləşmə əmsalının xüsusi qiymətləri
İfadəQaydaQiymət
Cn0C_n^0həmişə 1111
CnnC_n^nhəmişə 1111
Cn1C_n^1Cn1=nC_n^1=nnn
C52C_5^25!2! 3!\frac{5!}{2!\,3!}1010
C63C_6^36!3! 3!\frac{6!}{3!\,3!}2020
C73C_7^37!3! 4!\frac{7!}{3!\,4!}3535

Cn0=Cnn=1C_n^0=C_n^n=1 qaydası məsələlərdə tez-tez işlədilir.

✎88 nəfərdən 33 nəfərlik komitə seçimi
  1. 1Modeli seç: Sıra əhəmiyyətli deyil, ona görə bu birləşmədir: C83C_8^3.
  2. 2Düsturu yaz: C83=8!3!⋅5!=8⋅7⋅63!C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3!}.
  3. 3Hesabla: 8⋅7⋅66=3366=56\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = \frac{336}{6} = 56.
  4. 4Cavab: 5656 üsulla seçmək olar.
✎Geri qaytarmadan iki qırmızı top
  1. 1Şərt: 55 qırmızı, 33 mavi; 22 top ardıcıl, geri qaytarmadan.
  2. 2Birinci top: P(1-ci qırmızı)=58P(\text{1-ci qırmızı}) = \frac{5}{8}.
  3. 3İkinci top (şərti): 11 qırmızı çıxdı, qalıb 44 qırmızı, 77 top: P=47P = \frac{4}{7}.
  4. 4Hasil: 58⋅47=2056=514\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}.
🚫Tez-tez səhv

Sıralı seçim (yerləşdirmə AnkA_n^k) ilə sırasız seçimi (birləşmə CnkC_n^k) qarışdırma: 'komitə/qrup' sırasız, 'sıra/düzülüş/pjedestal' sıralıdır.

⚠️Diqqət

Geri qaytarmadan (asılı) hadisələrdə ikinci addımda həm əlverişli, həm ümumi say 11 azalır: 58⋅47\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7}, 58⋅58\frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} deyil.

⚠️Diqqət

Toplama qaydası yalnız bir-birini istisna edən hadisələr üçündür; müstəqil hadisələrin birlikdə baş verməsi üçün ehtimallar vurulur.

💡Qeyd

'Heç olmasa bir' tipli məsələni əks hadisə ilə həll et: P(hec¸ olmasa bir)=1−P(hec¸ biri)P(\text{heç olmasa bir}) = 1 - P(\text{heç biri}).

💡Qeyd

Şərti ehtimalda fəza şərtə uyğun daralır: 'şəkilli kart daxilində kral' üçün məxrəc 5252 deyil, 1212-dir.

Qaydalar

  1. 1Klassik ehtimal: P(A)=əlveris¸li nəticə sayıbu¨tu¨n bərabərimkanlı nəticə sayıP(A) = \frac{\text{əlverişli nəticə sayı}}{\text{bütün bərabərimkanlı nəticə sayı}} (0≤P≤10 \le P \le 1).
  2. 2Vurma prinsipi: ardıcıl mərhələlərin üsul sayları vurulur. Yerləşdirmə (sıralı): Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}.
  3. 3Birləşmə (sırasız): Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}; Cn0=Cnn=1C_n^0 = C_n^n = 1, Cn1=nC_n^1 = n.
  4. 4Toplama qaydası (istisna edən hadisələr): P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B). Müstəqil hadisələr: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).
  5. 5Şərti ehtimal (asılı hadisələr): P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A). Əks hadisə: P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq