m10-7.1· Fəsil 7: Üçbucağın həlli· ~13 dəq

Sinuslar və kosinuslar teoremləri

İxtiyari üçbucağın həlli və sahəsi.

İxtiyari üçbucağın həlli üçün iki əsas alət mövcuddur. Sinuslar teoreminə görə asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R, burada RR çevrəyazılmış çemberin radiusudur; bu teorem iki bucaq və bir tərəf (AAS) yaxud iki tərəf və bir bucaq (SSA) məlum olduqda istifadə edilir.

Kosinuslar teoreminə görə a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A düsturu hər hansı tərəfi qalan iki tərəf və aralarındakı bucaq vasitəsilə əlaqələndirir; bu teorem üç tərəf (SSS) yaxud iki tərəf aralarındakı bucaq (SAS) məlum olduqda tətbiq olunur.

İki tərəf və aralarındakı bucaq məlum olduqda üçbucağın sahəsi S=12⋅a⋅b⋅sin⁡CS = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C düsturu ilə hesablanır. Üç tərəf məlum olduqda isə Heronun S=s(s−a)(s−b)(s−c)S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} düsturundan istifadə olunur, burada s=a+b+c2s = \frac{a+b+c}{2}. Düzbucaqlı olmayan üçbucaqlarda Pifaqor teoremi deyil, bu iki teoremdən uyğunu seçilməlidir.

📌Nümunə

Məsələn: ABCABC üçbucağında a=7a = 7, b=5b = 5, C=60∘C = 60^\circ verilsə, kosinuslar teoremi ilə c2=49+25−2⋅7⋅5⋅cos⁡60∘=74−35=39c^2 = 49 + 25 - 2\cdot 7\cdot 5\cdot\cos 60^\circ = 74 - 35 = 39, yəni c=39c = \sqrt{39} alınır.

Əsas terminlər

Sinuslar teoremi — İxtiyari üçbucaqda asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R; tərəf müxabil bucağın sinusuna nisbəti diametrə bərabərdir.
Kosinuslar teoremi — Üçbucağın tərəfini qalan iki tərəf və aralarındakı bucaqla əlaqələndirir: a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A.
Çevrəyazılmış çember — Üçbucağın üç təpəsindən keçən çember; radiusu RR, sinuslar teor.də 2R2R kimi iştirak edir.
Sahə düsturu (iki tərəf və bucaq) — İki tərəf və aralarındakı bucaq məlum olduqda S=12⋅a⋅b⋅sin⁡CS=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C.
Heronun düsturu — Üç tərəf məlum olduqda S=s(s−a)(s−b)(s−c)S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, burada yarımperimetr s=a+b+c2s=\frac{a+b+c}{2}.
Küt bucaq əlaməti — Kosinuslar teor.də pay b2+c2−a2b^2+c^2-a^2 mənfi olarsa cos⁡A<0\cos A<0 olur, yəni AA küt bucaqdır.
Hansı teoremi seçməli (məlum kəmiyyətlərə görə)
Məlum olanİşlədilən teoremDüstur
İki tərəf + aralarındakı bucaq (SAS)Kosinuslara2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A
Üç tərəf (SSS)Kosinuslarcos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
İki bucaq + bir tərəf (AAS)Sinuslarasin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}
İki tərəf + qarşı bucaq (SSA)Sinuslarasin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}
Bir bucaq + qarşı tərəfSinuslar2R=asin⁡A2R=\frac{a}{\sin A}

Düzbucaqlı olmayan üçbucaqda Pifaqor deyil, bu iki teoremdən uyğunu seçilir.

Sahə və yarımperimetr düsturları
HalDüstur
İki tərəf + aralarındakı bucaqS=12⋅a⋅b⋅sin⁡CS=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C
Üç tərəf (Heron)S=s(s−a)(s−b)(s−c)S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
Yarımperimetrs=a+b+c2s=\frac{a+b+c}{2}
Üçüncü bucaqA+B+C=180∘A+B+C=180^\circ

Sahə düsturunda 12\frac{1}{2} əmsalını və sin⁡C\sin C-ni unutmamaq lazımdır.

✎Kosinuslar teoremi ilə tərəfin tapılması (a=7a=7, b=5b=5, C=60∘C=60^\circ)
  1. 1Düsturu yaz: Aralarındakı bucaq CC məlum olduğundan c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos C.
  2. 2Qiymətləri yerləşdir: c2=72+52−2⋅7⋅5⋅cos⁡60∘=49+25−70⋅12c^2=7^2+5^2-2\cdot 7\cdot 5\cdot\cos 60^\circ=49+25-70\cdot\frac{1}{2}.
  3. 3Hesabla: c2=74−35=39c^2=74-35=39.
  4. 4Cavab: c=39c=\sqrt{39}.
✎Heronun düsturu ilə sahə (a=13a=13, b=14b=14, c=15c=15)
  1. 1Yarımperimetr: s=13+14+152=422=21s=\frac{13+14+15}{2}=\frac{42}{2}=21.
  2. 2Fərqlər: s−a=8s-a=8, s−b=7s-b=7, s−c=6s-c=6.
  3. 3Heron düsturu: S=21⋅8⋅7⋅6=7056S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}.
  4. 4Cavab: S=84S=84.
⚠️Diqqət

Kosinuslar teor.də 2bccos⁡A2bc\cos A həddi həmişə ÇIXILIR: a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A. Müsbət işarə (+2bccos⁡A+2bc\cos A) yanlışdır.

🚫Tez-tez səhv

Sahə düsturunda sin⁡C\sin C-ni unutmaq tipik səhvdir. Məsələn a=6a=6, b=8b=8, C=60∘C=60^\circ: 12⋅6⋅8=24\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24 yox, 24⋅32=12324\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}.

⚠️Diqqət

cos⁡C\cos C mənfi olduqda (cos⁡C<0\cos C<0) −2abcos⁡C-2ab\cos C həddi əslində ƏLAVƏ olur. Bunu çıxma kimi davam etdirmək nəticəni kiçildər.

💡Qeyd

Bir bucaq və qarşı tərəfi varsa, çevrə radiusunu birbaşa tap: 2R=asin⁡A2R=\frac{a}{\sin A}. Məs. A=30∘A=30^\circ, a=5a=5: 2R=50,5=102R=\frac{5}{0{,}5}=10, R=5R=5.

💡Qeyd

Üç tərəf verilibsə ən böyük bucaq ən böyük tərəfin qarşısındadır; onun kosinusu mənfi çıxarsa bucaq kütdür.

Qaydalar

  1. 1Sinuslar teoremi: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R (tərəf müxabil bucağın sinusuna bölünür, nəticə diametrə bərabərdir).
  2. 2Kosinuslar teoremi: a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A (SAS və SSS halları üçün; bucaq küt olduqda kosinusu mənfi olur).
  3. 3Sahə düsturu: S=12⋅a⋅b⋅sin⁡CS = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C (iki tərəf və aralarındakı bucaq vasitəsilə; üçbucaq düzbucaqlı olmaya bilər).
  4. 4Heronun düsturu: S=s(s−a)(s−b)(s−c)S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, s=a+b+c2s = \frac{a+b+c}{2} (yalnız üç tərəf məlum olduqda).
  5. 5İki bucaq məlum olduqda üçüncüsü A+B+C=180∘A + B + C = 180^\circ münasibətindən tapılır, sonra sinuslar teoremdən tərəflər hesablanır.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq