m10-6.2· Fəsil 6: Stereometriya əsasları· ~13 dəq

Üç perpendikulyar teoremi və ikiüzlü bucaqlar

Perpendikulyar və mail, düz xətt–müstəvi bucağı, ikiüzlü bucaq.

Müstəviyə mail çəkilmiş xətt həm mailə, həm də onun həmin müstəvidəki proyeksiyasına malikdir. Mailin proyeksiyası — mailin müstəvidəki arxac nöqtəsindən başlayaraq mailin pəncəsinə çəkilmiş proyeksiya xəttinin uzunluğudur.

Üç perpendikulyar teoremi bu münasibəti formalaşdırır: əgər bir düz xətt müstəviyə perpendikulyardırsa, müstəvidəki hər hansı bir xətt isə həmin düz xəttin müstəvi üzərindəki proyeksiyasına perpendikulyardırsa, o xətt maildən olan proyeksiyaya da perpendikulyardır (və əksinə).

Düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucaq — düz xətin müstəvi üzərindəki proyeksiyası ilə düz xətin özü arasındakı kəskin bucaqdır. Əgər düz xətt müstəviyə perpendikulyardırsa, bu bucaq 90∘90^\circ-dir; müstəviyə paraleldisə, 0∘0^\circ-dir. İkiüzlü bucaq iki yarımmüstəvinin ortaq düz kənarı boyunca görüşməsindən əmələ gəlir; onun xətti bucağı həmin kənara perpendikulyar olan müstəvidə kəsilmiş bucaqdır.

📌Nümunə

Məsələn: yüksəkliyi 44 sm, əsasının yarısı 33 sm olan düzbucaqlı üçbucaqda yüksəkliyin əsasla etdiyi bucaq arctan⁡43≈53∘\arctan\frac{4}{3} \approx 53^\circ olur; düz xətt–müstəvi bucağı da eyni üsulla hesablanır.

Qrafiklər

Üç perpendikulyar teoremi: AO ⊥ α, OB mailin proyeksiyası, AB ⊥ m.
Üç perpendikulyar teoremi: AO ⊥ α, OB mailin proyeksiyası, AB ⊥ m.

Əsas terminlər

Mail — Müstəviyə perpendikulyar olmayan, ona meyilli çəkilmiş xətt; uzunluğu həm proyeksiyadan, həm perpendikulyardan böyükdür.
Proyeksiya — Mailin arxac nöqtəsindən pəncəsinə qədər müstəvi üzərindəki düz xətt; mail >> proyeksiya >> perpendikulyar.
Perpendikulyar — Müstəviyə ⊥\perp çəkilmiş ən qısa xətt; nöqtədən müstəviyə qədər olan uzaqlıq.
Üç perpendikulyar teoremi — Müstəvidəki xətt perpendikulyarın oturacağına çəkilən proyeksiyaya ⊥\perp olarsa, mailə də ⊥\perp-dır (və əksinə).
Düz xətt–müstəvi bucağı — Xəttin müstəvi üzərindəki proyeksiyası ilə özü arasındakı kəskin bucaq; 0∘0^\circ ilə 90∘90^\circ arasında dəyişir.
İkiüzlü bucaq — Ortaq kənarı olan iki yarımmüstəvi arasındakı bucaq; xətti bucağı kənara ⊥\perp müstəvidə ölçülür və ikiüzlü bucağa bərabərdir.
Mail · proyeksiya · perpendikulyar münasibətləri
AnlayışDüsturİzah
Uzunluq sırasımail >> proyeksiya >> perpendikulyarperpendikulyar ən qısa yoldur
Mailin uzunluğul=h2+d2l=\sqrt{h^2+d^2}hh — perpendikulyar, dd — proyeksiya
Proyeksiyad=l2−h2d=\sqrt{l^2-h^2}mail və perpendikulyardan tapılır
Bucağın tangensitan⁡α=hd\tan\alpha=\frac{h}{d}α\alpha — düz xətt–müstəvi bucağı

Perpendikulyar hh, proyeksiya dd, mail ll düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir.

Düz xətt–müstəvi bucağının xüsusi halları
Xəttin müstəviyə vəziyyətiBucaq
Müstəviyə perpendikulyar90∘90^\circ
Müstəviyə paralel0∘0^\circ
Mail (ümumi hal)0∘0^\circ ilə 90∘90^\circ arasında

Bucaq həmişə 0∘≤α≤90∘0^\circ \le \alpha \le 90^\circ aralığındadır.

✎Mailin uzunluğunu tapmaq (Pifaqor teoremi)
  1. 1Verilənlər: Perpendikulyar AB=3AB=3 sm müstəviyə ⊥\perp; proyeksiya BC=4BC=4 sm. ACAC maili tapılmalıdır.
  2. 2Düzbucaqlı üçbucaq: AB⊥AB\perp müstəvi olduğundan AB⊥BCAB\perp BC, yəni ABCABC üçbucağında BB təpəsindəki bucaq düzdür.
  3. 3Pifaqor teoremi: AC=AB2+BC2=32+42=9+16AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}.
  4. 4Cavab: AC=25=5AC=\sqrt{25}=5 sm.
✎Küpün diaqonalının müstəvi ilə bucağı
  1. 1Verilənlər: Küpün tili a=4a=4 sm. Əsas diaqonalı a3a\sqrt{3}, üfüqi proyeksiyası a2a\sqrt{2}-dir. Bucağın sinusu axtarılır.
  2. 2Perpendikulyar hündürlük: Diaqonalın altdan yuxarıya qalxan perpendikulyar hissəsi tilə bərabərdir: h=ah=a.
  3. 3Sinusun tərifi: sin⁡α=perpendikulyarmail=aa3\sin\alpha=\frac{\text{perpendikulyar}}{\text{mail}}=\frac{a}{a\sqrt{3}}.
  4. 4Sadələşdirmə: sin⁡α=13\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}} (tildən asılı deyil).
⚠️Diqqət

İkiüzlü bucağın xətti bucağı yalnız ortaq kənara ⊥\perp müstəvidə düzgün ölçülür; ixtiyari müstəvidə deyil.

⚠️Diqqət

Xətti bucaq ikiüzlü bucağın yarısı və ya tamamlayıcısı DEYİL — onlar bərabərdir: xətti bucaq 60∘60^\circ olarsa, ikiüzlü bucaq da 60∘60^\circ-dir.

🚫Tez-tez səhv

Maili proyeksiya ilə qarışdırma: prizmada A1C=AC2+AA12A_1C=\sqrt{AC^2+AA_1^2}, yəni 1313 deyil ACAC-nin özüdür; yüksəkliyi  \sqrt{\,} altına əlavə etməyi unutma.

💡Qeyd

Daima düzbucaqlı üçbucaq qur: perpendikulyar hh bir katet, proyeksiya dd digər katet, mail ll hipotenuzdur — sonra tan⁡α=hd\tan\alpha=\frac{h}{d} tətbiq et.

⚠️Diqqət

Yan tilin proyeksiyası (yarı-diaqonal a22\frac{a\sqrt{2}}{2}) ilə apotemanın proyeksiyasını (a2\frac{a}{2}) qarışdırma — bu fərq bucaq və apotema hesablamalarında səhvə aparır.

Qaydalar

  1. 1Mailin proyeksiyası: arxac nöqtəsindən pəncəyə qədər olan müstəvi üzərindəki düz xəttdir; mail > proyeksiya > perpendikulyar (uzunluq münasibəti).
  2. 2Üç perpendikulyar teoremi: müstəviyə ⊥\perp xətt, müstəvidəki xəttə ⊥\perp (proyeksiyaya görə)   ⟺  \iff həmin müstəvidəki xətt mailə ⊥\perp.
  3. 3Düz xətt–müstəvi bucağı: xətti müstəviyə proyeksiyası ilə özü arasındakı kəskin bucaqdır; tan⁡α=hd\tan\alpha = \frac{h}{d} (hh — perpendikulyar uzunluğu, dd — proyeksiya uzunluğu).
  4. 4İkiüzlü bucağın xətti bucağı: iki yarımmüstəvinin kənarına perpendikulyar müstəvidəki kəsimin bucağıdır; hesablamada həmin kəskin bucaq ikiüzlü bucaqla bərabərdir.
  5. 5Perpendikulyar müstəvilər: iki müstəvi bir-birinə perpendikulyardır, əgər bir müstəvidə digər müstəviyə perpendikulyar olan bir düz xətt varsa.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq