m10-6.1· Fəsil 6: Stereometriya əsasları· ~13 dəq

Fəzada düz xətt və müstəvi

Aksiomlar, paralellik, perpendikulyarlıq, çarpaz xətlər.

Stereometriya müstəvi fiqurlardan fərqli olaraq üçölçülü fəzadakı fiqurları öyrənir. Üç əsas aksiomu xatırlamaq vacibdir: (1) istənilən üç kənar nöqtə vasitəsilə yalnız bir müstəvi keçir; (2) əgər bir müstəvinin iki nöqtəsi başqa bir müstəvidə olarsa, bu müstəvilər bir düz xətt üzrə kəsişir; (3) hər düz xətt onun üzərindəki nöqtə vasitəsilə yalnız bir müstəviyə mənsubdur.

Fəzada iki düz xətt üç növ vəziyyətdə ola bilər: kəsişən (bir ümumi nöqtəsi var), paralel (eyni müstəvidə olub kəsişmir) və çarpaz (eyni müstəvidə deyil, kəsişmir, paralel də deyil). Düz xətt müstəviyə paralel sayılır, əgər müstəvidəki iki kəsişən düz xəttə paralel olan bir xətt tapılarsa.

Perpendikulyarlıq üçün əsas əlamət: düz xətt müstəviyə perpendikulyardır, əgər həmin müstəvidəki kəsişən iki xəttə perpendikulyardırsa.

📌Nümunə

Məsələn: kubun bir kənarı digər kənarla əgər eyni üzdə deyilsə, onlar çarpaz xətlər adlanır — məsələn, ABAB kənarı ilə A1D1A_1D_1 kənarı çarpazdır, aralarındakı məsafə kub kənarına bərabərdir.

Qrafiklər

Kubda çarpaz (paralel olmayan və kəsişməyən) iki düz xətt: a və b.
Kubda çarpaz (paralel olmayan və kəsişməyən) iki düz xətt: a və b.

Əsas terminlər

Stereometriya — Üçölçülü fəzadakı fiqurları öyrənən həndəsə bölməsi (müstəvi həndəsədən fərqli olaraq).
Çarpaz xətlər — Eyni müstəvidə olmayan, kəsişməyən və paralel də olmayan iki düz xətt; məsələn kubda ABAB ilə A1D1A_1D_1.
Xəttin müstəviyə paralelliyi — Xətt müstəvidəki iki kəsişən xəttə paralel xətt taparsa, müstəviyə paraleldir; ümumi nöqtələrin sayı 00-dır.
Xəttin müstəviyə perpendikulyarlığı — Düz xətt müstəvidəki kəsişən iki xəttə perpendikulyardırsa, bütün müstəviyə perpendikulyardır.
Fəza diaqonalı — Düzbucaqlı paralelepipedin əks təpələrini birləşdirən kəsim, uzunluğu a2+b2+c2\sqrt{a^2+b^2+c^2}.
Üç müstəvinin kəsişməsi — İki müstəvi paralel deyilsə, bir düz xətt üzrə kəsişir; üç müstəvinin cüt-cüt kəsişmə xətti ən çox 33-dür.
Fəzada iki düz xəttin qarşılıqlı vəziyyəti
VəziyyətÜmumi nöqtəEyni müstəvidə?
Kəsişən11Bəli
Paralel00Bəli
Çarpaz00Xeyr
Üst-üstə düşənSonsuzBəli

İki ayrı xətt yalnız kəsişən, paralel və ya çarpaz ola bilər; üst-üstə düşmə ayrı xətlər üçün mümkün deyil.

Düzbucaqlı fiqurlarda uzunluq düsturları
KəsimDüsturNümunə
Kvadrat üzün diaqonalıa2a\sqrt{2}a=6⇒62a=6 \Rightarrow 6\sqrt{2}
Düzbucaqlının diaqonalıa2+b2\sqrt{a^2+b^2}3,4⇒53,4 \Rightarrow 5
Fəza diaqonalıa2+b2+c2\sqrt{a^2+b^2+c^2}3,4,12⇒133,4,12 \Rightarrow 13

Kub və düzbucaqlı paralelepiped məsələlərində istifadə olunan əsas uzunluq düsturları.

✎Düzbucaqlı paralelepipedin fəza diaqonalı
  1. 1Verilənlər: Ölçülər AB=3AB=3, AD=4AD=4, AA1=12AA_1=12 sm. AC1AC_1 fəza diaqonalının uzunluğu tapılmalıdır.
  2. 2Əvvəlcə alt üzün diaqonalı: Alt üz 3×43\times 4 düzbucaqlıdır: AC=32+42=9+16=25=5AC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 sm.
  3. 3Fəza diaqonalı: AA1⊥AA_1 \perp əsas olduğundan AC1=AC2+AA12=52+122=25+144=169AC_1=\sqrt{AC^2+AA_1^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}.
  4. 4Cavab: AC1=13AC_1=13 sm. (Birbaşa: 32+42+122=169=13\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{169}=13.)
✎Çarpaz xətlər arasındakı məsafə (koordinatla)
  1. 1Verilənlər: Kubda kənar a=6a=6 sm. ABAB ilə A1D1A_1D_1 çarpaz xətləri verilib: A=(0,0,0)A=(0,0,0), B=(6,0,0)B=(6,0,0), A1=(0,0,6)A_1=(0,0,6), D1=(0,6,6)D_1=(0,6,6).
  2. 2İstiqamətlər: ABAB istiqaməti (1,0,0)(1,0,0) (xx-oxu boyunca), A1D1A_1D_1 istiqaməti (0,1,0)(0,1,0) (yy-oxu boyunca) — fərqli istiqamətlər, ona görə çarpazdırlar.
  3. 3Ümumi perpendikulyar: ABAB müstəvisi z=0z=0, A1D1A_1D_1 isə z=6z=6 səviyyəsindədir. Hər iki xəttə perpendikulyar istiqamət (0,0,1)(0,0,1), yəni zz-oxudur.
  4. 4Cavab: Məsafə zz fərqinə bərabərdir: 6−0=66-0=6 sm, yəni kub kənarına bərabər.
🚫Tez-tez səhv

İki ayrı xəttin «üst-üstə düşən» olduğunu seçmək səhvdir — bu yalnız eyni xətt üçün mümkündür. Ayrı xətlər yalnız kəsişən, paralel və ya çarpaz olur.

⚠️Diqqət

Müstəviyə perpendikulyarlıq üçün xəttin müstəvidəki yalnız bir xəttə perpendikulyar olması kifayət deyil — kəsişən iki xəttə perpendikulyarlıq tələb olunur.

⚠️Diqqət

Çarpaz ilə paralel-i qarışdırmayın: hər ikisi kəsişmir, lakin çarpaz xətlər eyni müstəvidə deyil, paralel xətlər isə eyni müstəvidədir.

💡Qeyd

Xətt müstəviyə paraleldirsə, ümumi nöqtə sayı 00-dır; 11 nöqtə kəsişmə, ≥2\ge 2 nöqtə isə xəttin müstəvidə yerləşməsi deməkdir.

💡Qeyd

Kubun istənilən üzünün diaqonalı a2a\sqrt{2}, fəza diaqonalı isə a3a\sqrt{3}-dür — bu ikisini qarışdırmayın.

Qaydalar

  1. 1Üç kənar nöqtədən yalnız bir müstəvi keçir.
  2. 2Fəzada iki düz xətt ya kəsişir, ya paralel olur, ya da çarpaz olur.
  3. 3Düz xətt müstəviyə paraleldir, əgər müstəvidəki iki kəsişən xəttə paralel bir xətt varsa.
  4. 4Düz xətt müstəviyə perpendikulyardır, əgər müstəvidəki kəsişən iki xəttə perpendikulyardırsa.
  5. 5İki müstəvi paralel sayılır, əgər birindəki iki kəsişən düz xətt digərinə paralel olsa.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq