m10-5.1· Fəsil 5: Kompleks ədədlər· ~13 dəq

Kompleks ədədlər və əməllər

z=a+biz = a + bi, əməllər, modul, arqument, triqonometrik şəkil.

Kompleks ədəd z=a+biz = a + bi şəklində yazılır, burada a∈Ra \in \mathbb{R} — həqiqi hissə, b∈Rb \in \mathbb{R} — xəyali hissə, ii isə xəyali vahiddir: i2=−1i^2 = -1.

İki kompleks ədədi toplamaq və çıxmaq üçün həqiqi hissələr ayrı, xəyali hissələr ayrı toplanır (çıxılır). Vurma zamanı açılış aparılır, i2=−1i^2 = -1 istifadə olunur. Bölmə isə məxrəci real etmək üçün surət və məxrəb qoşma ədədə — zˉ=a−bi\bar{z} = a - bi — vurulur: z1z2=z1⋅zˉ2∣z2∣2\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1\cdot\bar{z}_2}{|z_2|^2}.

Kompleks ədədin modulu ∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, arqumenti isə φ=arg⁡z\varphi = \arg z — müsbət xx-oxu ilə zz vektorunun düzəltdiyi bucaqdır (φ∈(−π;π]\varphi \in (-\pi; \pi]). Kompleks müstəvidə z=a+biz = a + bi nöqtəsi (a;b)(a; b) koordinatına uyğundur. Triqonometrik şəkil: z=r(cos⁡φ+isin⁡φ)z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi), burada r=∣z∣r = |z|. Cəbri şəkildən triqonometrik şəklə keçmək üçün rr tapılır, cos⁡φ=ar\cos\varphi = \frac{a}{r}, sin⁡φ=br\sin\varphi = \frac{b}{r} yazılır.

📌Nümunə

Məsələn: z=1+i3z = 1 + i\sqrt{3} üçün r=12+(3)2=2r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2, cos⁡φ=12\cos\varphi = \frac{1}{2}, sin⁡φ=32\sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}, yəni φ=π3\varphi = \frac{\pi}{3} və z=2(cos⁡π3+isin⁡π3)z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right).

Əsas terminlər

Kompleks ədəd (z=a+biz = a + bi) — aa — həqiqi hissə, bb — xəyali hissə, ii — xəyali vahid (i2=−1i^2 = -1). Kompleks müstəvidə (a;b)(a; b) nöqtəsinə uyğundur.
Xəyali vahid (ii) — i2=−1i^2 = -1 ödəyən ədəd. Qüvvətləri dövrüdür: i3=−ii^3 = -i, i4=1i^4 = 1.
Qoşma ədəd (zˉ\bar{z}) — z=a+biz = a + bi üçün zˉ=a−bi\bar{z} = a - bi — yalnız xəyali hissənin işarəsi dəyişir. z⋅zˉ=a2+b2z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 real alınır.
Modul (∣z∣|z|) — Kompleks ədədin başlanğıcdan uzaqlığı: ∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}. Həmişə müsbət həqiqi ədəddir.
Arqument (φ=arg⁡z\varphi = \arg z) — Müsbət xx-oxu ilə zz vektorunun düzəltdiyi bucaq, φ∈(−π;π]\varphi \in (-\pi; \pi]. cos⁡φ=ar\cos\varphi = \frac{a}{r}, sin⁡φ=br\sin\varphi = \frac{b}{r}.
Triqonometrik şəkil — z=r(cos⁡φ+isin⁡φ)z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi), burada r=∣z∣r = |z|, φ=arg⁡z\varphi = \arg z. Cəbri şəkildən rr və φ\varphi tapılaraq keçilir.
Kompleks əməllər və düsturlar
ƏməlDüstur
Toplama/çıxma(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a+bi) \pm (c+di) = (a\pm c) + (b\pm d)i
Vurma(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
Bölməz1z2=z1⋅zˉ2∣z2∣2\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\cdot\bar{z}_2}{|z_2|^2}
Modul∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
Qoşma hasiliz⋅zˉ=a2+b2z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2

Cəbri şəkildə əsas əməllər; vurma və bölmədə i2=−1i^2 = -1 istifadə olunur.

ini^n dövrü (qalan =n mod 4= n \bmod 4)
n mod 4n \bmod 4ini^n
0011
11ii
22−1-1
33−i-i

ii-nin qüvvətləri 4 dövrlüdür: böyük nn üçün nn-i 44-ə bölüb qalana bax.

✎(2+3i)(1−2i)(2 + 3i)(1 - 2i) hasilini tapmaq
  1. 1Mötərizəni aç: (2+3i)(1−2i)=2⋅1+2⋅(−2i)+3i⋅1+3i⋅(−2i)(2+3i)(1-2i) = 2\cdot 1 + 2\cdot(-2i) + 3i\cdot 1 + 3i\cdot(-2i)
  2. 2Hədləri yaz: =2−4i+3i−6i2= 2 - 4i + 3i - 6i^2
  3. 3i2=−1i^2 = -1 qoy: −6i2=−6⋅(−1)=6-6i^2 = -6\cdot(-1) = 6, deməli =2+6−4i+3i= 2 + 6 - 4i + 3i
  4. 4Hissələri qrupla: =(2+6)+(−4+3)i=8−i= (2+6) + (-4+3)i = 8 - i, yəni a=8a = 8, b=−1b = -1
  5. 5Nəticə: a+b=8+(−1)=7a + b = 8 + (-1) = 7
✎z=1+i3z = 1 + i\sqrt{3} ədədini triqonometrik şəklə keçirmək
  1. 1Modulu tap: r=∣z∣=12+(3)2=1+3=4=2r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2
  2. 2Kosinusu yaz: cos⁡φ=ar=12\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{1}{2}
  3. 3Sinusu yaz: sin⁡φ=br=32\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}
  4. 4Arqumenti təyin et: Re>0\text{Re} > 0, Im>0\text{Im} > 0 — I kvadrant; cos⁡φ=12\cos\varphi = \frac{1}{2} olduğundan φ=π3\varphi = \frac{\pi}{3}
  5. 5Nəticə: z=2(cos⁡π3+isin⁡π3)z = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)
🚫Tez-tez səhv

Toplama/çıxmada xəyali hissəni həqiqi hissə ilə qarışdırma: (2+3i)+(1−i)(2+3i)+(1-i)-də 3i+(−i)=2i3i + (-i) = 2i, 3+1=43+1 = 4 deyil. Doğru cavab 3+2i3 + 2i-dir.

⚠️Diqqət

Modul a2+b2\sqrt{a^2+b^2} kvadrat kökdür: z=5−12iz = 5 - 12i üçün 25+144=169=13\sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13, sadəcə 5+12=175+12 = 17 və ya 12−5=712-5 = 7 deyil.

⚠️Diqqət

Arqumentdə kvadrantı yoxla: tan⁡\tan eyni olsa da işarələr fərqlidir. −1+i-1 + i (II kvadrant) üçün φ=3π4\varphi = \frac{3\pi}{4}, π4\frac{\pi}{4} deyil; 3−i\sqrt{3} - i (IV kvadrant) üçün φ=−π6\varphi = -\frac{\pi}{6}.

🚫Tez-tez səhv

(1+i)2(1+i)^2-də i2=−1i^2 = -1-i unutma: 1+2i+i2=1+2i−1=2i1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i, 1+2i1 + 2i deyil.

💡Qeyd

Triqonometrik şəkildə vurma asandır: modullar vurulur, arqumentlər toplanır. 2(cos⁡π6+… )⋅3(cos⁡π3+… )=6(cos⁡π2+isin⁡π2)2(\cos\frac{\pi}{6}+\dots)\cdot 3(\cos\frac{\pi}{3}+\dots) = 6(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}).

Qaydalar

  1. 1i2=−1i^2 = -1; i3=−ii^3 = -i; i4=1i^4 = 1 — dövrü nəzərə alaraq ini^n-ni sadələşdir: qalan =n mod 4= n \bmod 4.
  2. 2Toplama/çıxma: (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a+bi) \pm (c+di) = (a\pm c) + (b\pm d)i — həqiqi və xəyali hissələr ayrı.
  3. 3Vurma: (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i — mötərizəni aç, i2=−1i^2 = -1 qoy.
  4. 4Bölmə: z1z2\frac{z_1}{z_2}-ni hesablamaq üçün surəti və məxrəbi qoşma ədədlə (zˉ2\bar{z}_2) vur; məxrəb ∣z2∣2=c2+d2|z_2|^2 = c^2 + d^2 real alınır.
  5. 5Modul ∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}; triqonometrik şəkil z=r(cos⁡φ+isin⁡φ)z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi), cos⁡φ=ar\cos\varphi = \frac{a}{r}, sin⁡φ=br\sin\varphi = \frac{b}{r}.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq