m10-4.2· Fəsil 4: Üstlü və loqarifmik funksiyalar· ~13 dəq

Loqarifmlər və loqarifmik tənliklər

Loqarifmin tərifi və xassələri, loqarifmik tənlik/bərabərsizlik.

Loqarifm — üstləşdirmənin tərsi əməliyyatıdır: $\log_a b = c$ o deməkdir ki, $a^c = b$ , burada $a > 0$ , $a \ne 1$ və $b > 0$ şərtləri mütləq ödənilməlidir.

Əsas xassələr: $\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n$ (hasilin loqarifmi), $\log_a\frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n$ (qismin loqarifmi), $\log_a(m^k) = k\cdot\log_a m$ (qüvvətin loqarifmi). Xüsusi hallar: onluq loqarifm $\lg x = \log_{10} x$ , natural loqarifm $\ln x = \log_e x$ . Əsasın dəyişdirilməsi düsturu: $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ .

Loqarifmik tənlik həll edərkən mütləq ODZ-ni (tərif oblastını) müəyyənləşdirmək lazımdır — loqarifmin arqumenti müsbət, əsas isə $0$ -dan böyük və $1$ -ə bərabər olmayan olmalıdır; tapılan kökün ODZ-ni ödəyib-ödəmədiyini yoxlamaq vacibdir.

📌Nümunə

Məsələn: $\log_2(x - 1) = 3$ tənliyini həll etmək üçün əvvəlcə ODZ: $x - 1 > 0 \implies x > 1$ ; sonra tərifi tətbiq edirik: $x - 1 = 2^3 = 8 \implies x = 9$ , bu $x > 1$ şərtini ödəyir, yəni cavab $x = 9$ -dur.

y = log₂x funksiyası y = 2ˣ-in tərsidir; qrafiklər y = x düz xəttinə görə simmetrikdir

Əsas terminlər

Loqarifm — Üstləşdirmənin tərsi:

\log_a b = c \iff a^c = b

, burada

a > 0

a \ne 1

b > 0

Onluq loqarifm — Əsası

10

olan loqarifm:

\lg x = \log_{10} x

Natural loqarifm — Əsası

e

olan loqarifm:

\ln x = \log_e x

ODZ (tərif oblastı) — Loqarifmin arqumenti müsbət, əsas isə

0

-dan böyük və

1

-ə bərabər olmayan olmalıdır.

Əsasın dəyişdirilməsi düsturu —

\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}

; xüsusilə

\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}

Loqarifmik tənlik — Naməlumu loqarifmin arqumentində (və ya əsasında) saxlayan tənlik; həll edərkən ODZ yoxlanılır.

Loqarifmin əsas xassələri

Xassə	Düstur
Hasilin loqarifmi	$\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n$
Qismin loqarifmi	$\log_a\frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n$
Qüvvətin loqarifmi	$\log_a(m^k) = k\cdot\log_a m$
Əsasla arqument eyni	$\log_a a = 1$
Vahidin loqarifmi	$\log_a 1 = 0$
Əsas eyniliyi	$a^{\log_a b} = b$

Hesablama və tənlik həllində istifadə olunan əsas loqarifm qaydaları.

Loqarifmik tənlik və bərabərsizliyin monotonluğu

Əsasın qiyməti	Funksiya	Bərabərsizlik işarəsi
$a > 1$	Artandır	İşarə saxlanılır
$0 < a < 1$	Azalandır	İşarə əks olur

$\log_a$ bərabərsizliyini açarkən əsasdan asılı olaraq işarə dəyişir.

✎

\log_2(x - 1) = 3

tənliyini həll et

1ODZ: $x - 1 > 0 \implies x > 1$ .
2Tərifi tətbiq et: $\log_2(x-1) = 3 \implies x - 1 = 2^3 = 8$ .
3Tənliyi həll et: $x = 8 + 1 = 9$ .
4Yoxla: $9 > 1$ ODZ-ni ödəyir, deməli cavab $x = 9$ .

✎

\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3

tənliyini həll et

1ODZ: $x > 0$ və $x - 2 > 0 \implies x > 2$ .
2Hasil xassəsi: $\log_2\big(x(x-2)\big) = 3$ .
3Tərifi tətbiq et: $x(x-2) = 2^3 = 8 \implies x^2 - 2x - 8 = 0$ .
4Köklər: $(x-4)(x+2) = 0 \implies x = 4$ və ya $x = -2$ .
5ODZ ilə süz: $x = -2$ ODZ-ni ( $x > 2$ ) pozur; yeganə cavab $x = 4$ .

⚠️Diqqət

Loqarifmik tənlik/bərabərsizliyi həll etməzdən ƏVVƏL mütləq ODZ yaz: arqument $> 0$ , əsas $> 0$ və $\ne 1$ . Tapılan kökün ODZ-ni ödəyib-ödəmədiyini yoxla.

⚠️Diqqət

$\log_a$ bərabərsizliyini açarkən $a > 1$ olduqda işarə saxlanılır, $0 < a < 1$ olduqda isə əks olur. Məsələn $\log_{1/3} x < -2 \implies x > 9$ .

🚫Tez-tez səhv

Loqarifmlərin cəmini arqumentlərin cəmi ilə qarışdırma: $\log_a m + \log_a n = \log_a(mn)$ , cəm deyil. Məsələn $\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2$ , $\log_6 13$ deyil.

🚫Tez-tez səhv

Loqarifmlərin fərqi qismin loqarifmidir, arqumentlərin fərqi deyil: $\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2\frac{48}{3} = \log_2 16 = 4$ , $\log_2 45$ deyil.

💡Qeyd

Yadda saxla: $\log_a a = 1$ , $\log_a 1 = 0$ və $a^{\log_a b} = b$ . Bu eyniliklər çoxlu məsələni bir addımda həll edir, məsələn $5^{\log_5 12} = 12$ .

Qaydalar

1 $\log_a b = c \iff a^c = b$ ; burada $a > 0$ , $a \ne 1$ , $b > 0$ şərtləri mütləq ödənilməlidir.
2Xassələr: $\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n$ ; $\log_a\frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n$ ; $\log_a(m^k) = k\cdot\log_a m$ .
3 $\lg x = \log_{10} x$ (onluq loqarifm); $\ln x = \log_e x$ (natural loqarifm); $\log_a a = 1$ ; $\log_a 1 = 0$ .
4Əsasın dəyişdirilməsi: $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ ; xüsusilə $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ .
5Loqarifmik tənlik/bərabərsizlik həllindən ƏVVƏL ODZ yaz; $a > 1$ olduqda $\log_a$ artandır, $0 < a < 1$ olduqda azalandır.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq

Loqarifmlər və loqarifmik tənliklər

Qrafiklər

Əsas terminlər

Qaydalar

Məşq