m10-4.1· Fəsil 4: Üstlü və loqarifmik funksiyalar· ~13 dəq

Üstlü funksiya və üstlü tənliklər

Həqiqi üstlü qüvvət, $y=a^x$ , üstlü tənlik və bərabərsizliklər.

Üstlü funksiya $y=a^x$ ( $a>0$ , $a\ne 1$ ) bütün həqiqi $x$ ədədlərində təyin olunur və həmişə müsbət qiymətlər qəbul edir: qiymətlər çoxluğu $(0;+\infty)$ . $a>1$ olduqda funksiya bütün $\mathbb{R}$ üzrə artan, $0<a<1$ olduqda isə azalan funksiya kimi davranır; hər iki halda qrafik $(0;1)$ nöqtəsindən keçir.

Üstlü tənlikləri həll edərkən ən əsas üsul hər iki tərəfi eyni əsasa gətirməkdir: $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ şəklini aldıqda $f(x) = g(x)$ yazırıq. Daha mürəkkəb hallarda $t = a^x$ ( $t>0$ ) əvəzləməsi köklü gəlir: bu məsələni adi cəbri tənliyə çevirir.

Üstlü bərabərsizliklərdə isə əsasın 1-dən böyük ya kiçik olması bərabərsizlik işarəsinin yönünü müəyyən edir: $a>1$ halda $a^x > a^y \iff x>y$ , amma $0<a<1$ halda $a^x > a^y \iff x<y$ (azalan funksiya olduğundan işarə dəyişir). $e$ ədədi ( $e \approx 2{,}718$ ) təbii üstlü funksiyanın əsasıdır.

📌Nümunə

Məsələn: $2^{x+1} = 8$ tənliyini həll etmək üçün $8 = 2^3$ yazırıq, beləliklə $x+1 = 3$ , yəni $x=2$ alınır.

Əsas terminlər

Üstlü funksiya —

y=a^x

(

a>0

a\ne 1

) şəklində funksiya; bütün həqiqi

x

-lərdə təyin olunur və yalnız müsbət qiymət alır.

Təyin oblastı —

y=a^x

funksiyasının arqument çoxluğu bütün həqiqi ədədlərdir:

\mathbb{R}

Qiymətlər çoxluğu —

y=a^x

funksiyasının ala bildiyi qiymətlər çoxluğu

(0;+\infty)

-dir; funksiya heç vaxt

0

ya mənfi olmur.

Artan və azalan hal —

a>1

olduqda

y=a^x

artan,

0<a<1

olduqda azalan funksiyadır.

Üstlü tənlik — Naməlumu göstəricidə olan tənlik; əsas üsul:

a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)

t=a^x

əvəzləməsi — Mürəkkəb üstlü tənliyi cəbri tənliyə gətirən üsul; burada

t>0

olmalı,

t\le 0

kökləri atılır.

e

ədədi — Təbii üstlü funksiyanın əsası,

e\approx 2{,}718

Üstlü funksiyanın xassələri

Xassə	$a>1$	$0<a<1$
Təyin oblastı	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
Qiymətlər çoxluğu	$(0;+\infty)$	$(0;+\infty)$
Monotonluq	Artan	Azalan
Ortaq nöqtə	$(0;1)$	$(0;1)$

$y=a^x$ funksiyasının qrafiki həmişə $(0;1)$ nöqtəsindən keçir.

Üstlü bərabərsizlikdə işarə qaydası

Əsas	$a^x>a^y$ nəticəsi
$a>1$	$x>y$ (işarə eyni qalır)
$0<a<1$	$x<y$ (işarə dəyişir)

Azalan funksiyada ( $0<a<1$ ) bərabərsizlik işarəsi tərsinə çevrilir.

✎

2^{x+1}=8

tənliyini həll et

1Eyni əsasa gətir: Sağ tərəfi $2$ -nin qüvvəti kimi yaz: $8=2^3$ , beləliklə $2^{x+1}=2^3$ .
2Göstəriciləri bərabərləşdir: Əsaslar eyni olduğundan $x+1=3$ .
3Tap: $x=2$ .

✎

4^x-3\cdot 2^x-4=0

tənliyini həll et (

t=2^x

əvəzləməsi)

1Əvəzləmə qoy: $4^x=(2^x)^2$ olduğundan $t=2^x$ ( $t>0$ ) yazaq: $t^2-3t-4=0$ .
2Cəbri tənliyi həll et: $(t-4)(t+1)=0$ , yəni $t=4$ ya $t=-1$ .
3Yararsız kökü at: $t>0$ olmalı, ona görə $t=-1$ atılır; qalır $t=4$ .
4Geri qayıt: $2^x=4=2^2 \implies x=2$ .

⚠️Diqqət

$0<a<1$ (azalan) üstlü bərabərsizlikdə işarə dəyişir: $\left(\frac{1}{3}\right)^x<\frac{1}{27}$ → $x>3$ , $x<3$ deyil.

🚫Tez-tez səhv

$2^3$ -ü $2\cdot 3=6$ kimi hesablamaq səhvdir; üstlü qüvvət ardıcıl vurmadır: $2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$ .

🚫Tez-tez səhv

Mənfi göstərici mənfi ədəd vermir: $2^{-3}=\frac{1}{8}>0$ , $-8$ deyil; $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ .

💡Qeyd

$y=a^x$ qiymətlər çoxluğu $(0;+\infty)$ , təyin oblastı isə $\mathbb{R}$ -dir — ikisini qarışdırma.

💡Qeyd

$a^0=1$ olduğundan bütün $y=a^x$ qrafikləri ortaq $(0;1)$ nöqtəsindən keçir.

Qaydalar

1 $y=a^x$ funksiyasının təyin oblastı $\mathbb{R}$ , qiymətlər çoxluğu $(0;+\infty)$ ; qrafik $(0;1)$ nöqtəsindən keçir.
2 $a>1 \implies y=a^x$ artan funksiya; $0<a<1 \implies y=a^x$ azalan funksiya.
3Üstlü tənlik: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$ ( $a>0$ , $a\ne 1$ ).
4Üstlü bərabərsizlik: $a>1 \implies a^x > a^y \iff x>y$ ; $0<a<1 \implies a^x > a^y \iff x<y$ (işarə dəyişir).
5Mürəkkəb tənliklərdə $t = a^x$ ( $t>0$ ) əvəzləməsi cəbri tənliyə gətirir; $t \le 0$ kökləri atılır.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq

Üstlü funksiya və üstlü tənliklər

Qrafiklər

Əsas terminlər

Qaydalar

Məşq