m10-3.2· Fəsil 3: Triqonometrik funksiyalar və tənliklər· ~13 dəq

Triqonometrik tənliklər

$\sin x = a$ , $\cos x = a$ , $\tan x = a$ ümumi həlli; tərs triqonometrik funksiyalar.

Triqonometrik tənliklər həll edərkən ümumi həll düsturlarını bilmək vacibdir. $\sin x = a$ ( $|a| \le 1$ ) tənliyinin ümumi həlli $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ şəklindədir. $\cos x = a$ tənliyi üçün $x = \pm\arccos a + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ , $\tan x = a$ tənliyi üçün isə $x = \arctan a + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ düsturu tətbiq edilir.

Tərs triqonometrik funksiyalar ( $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ ) müvafiq olaraq $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ , $[0, \pi]$ və $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ oblastında qiymət alır. Bu funksiyalar əsas qiymətləri (məsələn, $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$ , $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$ , $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ ) əzbərləməklə tez hesablanır.

Bərabərsizlikləri həll edərkən vahid çevrədə uyğun qövsü müəyyənləşdirib məntiqi qaydada cavab yazılır. Mürəkkəb tənliklər isə əvəzləmə (məs. $t = \sin x$ ) vasitəsilə kvadrat tənliyə gətirilir.

📌Nümunə

Məsələn: $\sin^2 x - \sin x - 2 = 0$ tənliyini $t = \sin x$ əvəzləməsi ilə $t^2 - t - 2 = 0 \implies (t-2)(t+1) = 0 \implies t = -1 \implies \sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ alırıq.

Əsas terminlər

Triqonometrik tənlik — Naməlumun triqonometrik funksiyanın işarəsi altında olduğu tənlik, məsələn

\sin x = a

\cos x = a

və ya

\tan x = a

\sin x = a

ümumi həlli —

|a| \le 1

olduqda

x = (-1)^n \arcsin a + \pi n

n \in \mathbb{Z}

;

|a| > 1

olduqda həll yoxdur.

\cos x = a

ümumi həlli —

|a| \le 1

olduqda

x = \pm\arccos a + 2\pi n

n \in \mathbb{Z}

;

|a| > 1

olduqda həll yoxdur.

\tan x = a

ümumi həlli —

x = \arctan a + \pi n

n \in \mathbb{Z}

; təyin oblastı

x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n

şərtini tələb edir.

Tərs triqonometrik funksiyalar — Əsas qiymət verən funksiyalar:

\arcsin \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]

\arccos \in [0, \pi]

\arctan \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})

Əvəzləmə üsulu —

t = \sin x

və ya

t = \cos x

qoyaraq tənliyi kvadrat şəklə gətirmək; tapılan

t

-nin

|t| \le 1

şərtini ödəməsi yoxlanılır.

Əsas triqonometrik tənliklərin ümumi həlli

Tənlik	Şərt	Ümumi həll
$\sin x = a$	$\|a\| \le 1$	$x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$
$\cos x = a$	$\|a\| \le 1$	$x = \pm\arccos a + 2\pi n$
$\tan x = a$	$x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$	$x = \arctan a + \pi n$
$\sin x = a$ , $\|a\| > 1$	—	Həll yoxdur (boş çoxluq)

Hər yerdə $n \in \mathbb{Z}$ . $\sin$ və $\tan$ üçün dövr fərqinə diqqət edin.

Tərs funksiyaların əsas qiymətləri

İfadə	Qiymət	Oblast
$\arcsin\frac{1}{2}$	$\frac{\pi}{6}$	$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
$\arcsin(-1)$	$-\frac{\pi}{2}$	$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
$\arccos 0$	$\frac{\pi}{2}$	$[0, \pi]$
$\arccos 1$	$0$	$[0, \pi]$
$\arctan 1$	$\frac{\pi}{4}$	$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$\arctan(-1)$	$-\frac{\pi}{4}$	$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

Bu əsas qiymətlər əzbərlənərək tənliklər tez həll olunur.

✎

\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}

tənliyinin ümumi həlli

1Düstur seçimi: $\cos x = a$ üçün ümumi həll $x = \pm\arccos a + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ .
2Əsas qiymət: $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$ , çünki $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
3Yerinə yazırıq: $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ .
4Cavab: Hər iki işarə saxlanılır: $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ . Yalnız $+\frac{\pi}{6}$ yazmaq $-\frac{\pi}{6}$ həllini itirir.

✎

2\sin^2 x - \sin x = 0

tənliyinin

[0, \pi]

aralığında həlli

1Vuruqlara ayırma: $\sin x$ ortaq vuruqdur: $\sin x\,(2\sin x - 1) = 0$ .
2Birinci vuruq: $\sin x = 0 \Rightarrow x = 0$ və $x = \pi$ (hər ikisi $[0, \pi]$ aralığında).
3İkinci vuruq: $2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$ və $x = \frac{5\pi}{6}$ .
4Cavab: Dörd həll: $x = 0$ ; $x = \pi$ ; $x = \frac{\pi}{6}$ ; $x = \frac{5\pi}{6}$ . Heç bir vuruğu atlamayın.

⚠️Diqqət

Dövrü qarışdırmayın: $\sin x = a$ -da dövr $2\pi$ , $\tan x = a$ -da isə $\pi$ -dir. Məsələn $\tan x = -\sqrt{3}$ üçün cavab $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$ , $2\pi n$ deyil.

🚫Tez-tez səhv

$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ tənliyində yalnız $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ yazmaq səhvdir: $\cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ olduğundan $\pm$ işarəsi vacibdir.

🚫Tez-tez səhv

$2\sin^2 x - \sin x = 0$ -da $\sin x = 0$ həllərini ( $x = 0, \pi$ ) atmaq tez-tez rast gəlinir. Tənliyi vuruqlara ayırın, hər iki vuruğu sıfıra bərabər edin.

⚠️Diqqət

$|a| > 1$ olduqda $\sin x = a$ və $\cos x = a$ tənliyinin həlli YOXDUR. Məsələn $\sin x = 2$ üçün cavab boş çoxluqdur, çünki $\arcsin 2$ mövcud deyil.

💡Qeyd

$[0, 2\pi]$ kimi məhdud aralıqda həll sayını tapmaq üçün ümumi həlldəki $n$ tam ədədinə uyğun qiymətləri (adətən $n=0,1$ ) seçib aralığa düşənləri sayın.

Qaydalar

1 $\sin x = a$ ümumi həlli: $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ ; $|a| > 1$ olduqda həll yoxdur.
2 $\cos x = a$ ümumi həlli: $x = \pm\arccos a + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ ; $|a| > 1$ olduqda həll yoxdur.
3 $\tan x = a$ ümumi həlli: $x = \arctan a + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ ; təyin oblastı $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$ .
4Tərs funksiyaların əsas oblastları: $\arcsin \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ , $\arccos \in [0, \pi]$ , $\arctan \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ .
5 $t = \sin x$ (və ya $\cos x$ ) əvəzləməsi ilə tənlik kvadrat şəklə gətirilir; $t$ -nin tapılan qiymətlərinin $|t| \le 1$ şərtini ödəməsi yoxlanılmalıdır.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq