Ana səhifə › Riyaziyyat — 10-cu sinif › Gətirmə, toplama və ikiqat bucaq düsturları m10-2.2 · Fəsil 2: Triqonometrik ifadələr · ~13 dəq
Gətirmə, toplama və ikiqat bucaq düsturları Çevirmə düsturları, sin ( α ± β ) \sin(\alpha\pm\beta) sin ( α ± β ) cos ( α ± β ) \cos(\alpha\pm\beta) cos ( α ± β )
Triqonometriyanın əsas alətlərindən biri gətirmə düsturlarıdır: sin ( 90 ∘ − α ) = cos α \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha sin ( 9 0 ∘ − α ) = cos α cos ( 90 ∘ + α ) = − sin α \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin\alpha cos ( 9 0 ∘ + α ) = − sin α sin ( 180 ∘ − α ) = sin α \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α cos ( 180 ∘ + α ) = − cos α \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha cos ( 18 0 ∘ + α ) = − cos α
Toplama düsturları — sin ( α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cdot\cos\beta + \cos\alpha\cdot\sin\beta sin ( α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β cos ( α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cdot\cos\beta + \sin\alpha\cdot\sin\beta cos ( α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β sin 2 α = 2 sin α ⋅ cos α \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha sin 2 α = 2 sin α ⋅ cos α cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1
Bu düsturların hamısı bir-birindən çıxarılır: məsələn, sin ( α + β ) \sin(\alpha+\beta) sin ( α + β ) α = β \alpha = \beta α = β sin 2 α = 2 sin α ⋅ cos α \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha sin 2 α = 2 sin α ⋅ cos α
📌 Nümunə
Məsələn: sin 75 ∘ = sin ( 45 ∘ + 30 ∘ ) = sin 45 ∘ ⋅ cos 30 ∘ + cos 45 ∘ ⋅ sin 30 ∘ = ( 2 2 ⋅ 3 2 ) + ( 2 2 ⋅ 1 2 ) = 6 + 2 4 \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ\cdot\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\cdot\sin 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} sin 7 5 ∘ = sin ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = sin 4 5 ∘ ⋅ cos 3 0 ∘ + cos 4 5 ∘ ⋅ sin 3 0 ∘ = ( 2 2 ⋅ 2 3 ) + ( 2 2 ⋅ 2 1 ) = 4 6 + 2
Əsas terminlər Gətirmə düsturları — İxtiyari bucağın triqonometrik qiymətini I rübdəki bucaqla ifadə edən düsturlar, məsələn sin ( 90 ∘ − α ) = cos α \sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha sin ( 9 0 ∘ − α ) = cos α Toplama düsturu — İki bucağın cəmi və ya fərqi üçün düstur: sin ( α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta sin ( α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β İkiqat bucaq düsturu — sin 2 α = 2 sin α ⋅ cos α \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cdot\cos\alpha sin 2 α = 2 sin α ⋅ cos α cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α Funksiyanın çevrilməsi — 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ 270 ∘ 270^\circ 27 0 ∘ sin ↔ cos \sin\leftrightarrow\cos sin ↔ cos 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ 360 ∘ 360^\circ 36 0 ∘ Rüb işarəsi — Gətirmə düsturunda işarəni bucağın hansı rübdə olması verir, funksiya növü deyil.
Tangens toplama düsturu — tan ( α ± β ) = tan α ± tan β 1 ∓ tan α ⋅ tan β \tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\cdot\tan\beta} tan ( α ± β ) = 1 ∓ t a n α ⋅ t a n β t a n α ± t a n β Əsas gətirmə düsturları İfadə Bərabərdir sin ( 90 ∘ − α ) \sin(90^\circ-\alpha) sin ( 9 0 ∘ − α ) cos α \cos\alpha cos α sin ( 90 ∘ + α ) \sin(90^\circ+\alpha) sin ( 9 0 ∘ + α ) cos α \cos\alpha cos α cos ( 90 ∘ − α ) \cos(90^\circ-\alpha) cos ( 9 0 ∘ − α ) sin α \sin\alpha sin α cos ( 180 ∘ + α ) \cos(180^\circ+\alpha) cos ( 18 0 ∘ + α ) − cos α -\cos\alpha − cos α sin ( 180 ∘ + α ) \sin(180^\circ+\alpha) sin ( 18 0 ∘ + α ) − sin α -\sin\alpha − sin α cos ( 270 ∘ − α ) \cos(270^\circ-\alpha) cos ( 27 0 ∘ − α ) − sin α -\sin\alpha − sin α cos ( 360 ∘ − α ) \cos(360^\circ-\alpha) cos ( 36 0 ∘ − α ) cos α \cos\alpha cos α
90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ 270 ∘ 270^\circ 27 0 ∘
Toplama və ikiqat bucaq düsturları Düstur Açılış sin ( α ± β ) \sin(\alpha\pm\beta) sin ( α ± β ) sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β cos ( α ± β ) \cos(\alpha\pm\beta) cos ( α ± β ) cos α ⋅ cos β ∓ sin α ⋅ sin β \cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta cos α ⋅ cos β ∓ sin α ⋅ sin β sin 2 α \sin 2\alpha sin 2 α 2 sin α ⋅ cos α 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha 2 sin α ⋅ cos α cos 2 α \cos 2\alpha cos 2 α cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 \cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1 cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1
cos 2 α \cos 2\alpha cos 2 α
✎ cos α = − 4 5 \cos\alpha=-\frac{4}{5} cos α = − 5 4 π < α < 3 π 2 \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2} π < α < 2 3 π cos 2 α \cos 2\alpha cos 2 α 1 Düsturu seç : cos α \cos\alpha cos α cos 2 α = 2 cos 2 α − 1 \cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1 cos 2 α = 2 cos 2 α − 1 2 cos 2 α \cos^2\alpha cos 2 α : cos 2 α = ( − 4 5 ) 2 = 16 25 \cos^2\alpha=\left(-\frac{4}{5}\right)^2=\frac{16}{25} cos 2 α = ( − 5 4 ) 2 = 25 16 3 Yerinə qoy : cos 2 α = 2 ⋅ 16 25 − 1 = 32 25 − 1 = 32 − 25 25 \cos 2\alpha=2\cdot\frac{16}{25}-1=\frac{32}{25}-1=\frac{32-25}{25} cos 2 α = 2 ⋅ 25 16 − 1 = 25 32 − 1 = 25 32 − 25 4 Nəticə : cos 2 α = 7 25 \cos 2\alpha=\frac{7}{25} cos 2 α = 25 7 ✎ tan α = 1 2 \tan\alpha=\frac{1}{2} tan α = 2 1 tan β = 1 3 \tan\beta=\frac{1}{3} tan β = 3 1 tan ( α + β ) \tan(\alpha+\beta) tan ( α + β ) 1 Düstur : tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 − tan α ⋅ tan β \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta} tan ( α + β ) = 1 − t a n α ⋅ t a n β t a n α + t a n β 2 Surəti hesabla : tan α + tan β = 1 2 + 1 3 = 5 6 \tan\alpha+\tan\beta=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6} tan α + tan β = 2 1 + 3 1 = 6 5 3 Məxrəci hesabla : 1 − 1 2 ⋅ 1 3 = 1 − 1 6 = 5 6 1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} 1 − 2 1 ⋅ 3 1 = 1 − 6 1 = 6 5 4 Nəticə : tan ( α + β ) = 5 / 6 5 / 6 = 1 \tan(\alpha+\beta)=\frac{5/6}{5/6}=1 tan ( α + β ) = 5/6 5/6 = 1 ⚠️ Diqqət
Gətirmə düsturunda işarəni bucağın rübü verir, funksiya növü yox. sin ( 90 ∘ − α ) \sin(90^\circ-\alpha) sin ( 9 0 ∘ − α ) + cos α +\cos\alpha + cos α
💡 Qeyd
90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ 270 ∘ 270^\circ 27 0 ∘ sin ↔ cos \sin\leftrightarrow\cos sin ↔ cos 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ 360 ∘ 360^\circ 36 0 ∘
🚫 Tez-tez səhv
tan 2 α \tan 2\alpha tan 2 α tan α = 2 \tan\alpha=2 tan α = 2 tan 2 α = 2 ⋅ 2 1 − 4 = 4 − 3 = − 4 3 \tan 2\alpha=\frac{2\cdot 2}{1-4}=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3} tan 2 α = 1 − 4 2 ⋅ 2 = − 3 4 = − 3 4 2 tan α = 4 2\tan\alpha=4 2 tan α = 4
🚫 Tez-tez səhv
sin 2 α − cos 2 α \sin^2\alpha-\cos^2\alpha sin 2 α − cos 2 α cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α sin 2 α − cos 2 α = − cos 2 α \sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos 2\alpha sin 2 α − cos 2 α = − cos 2 α
💡 Qeyd
sin ( α + β ) \sin(\alpha+\beta) sin ( α + β ) α = β \alpha=\beta α = β sin 2 α = 2 sin α ⋅ cos α \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cdot\cos\alpha sin 2 α = 2 sin α ⋅ cos α
Qaydalar 1 Gətirmə düsturları: sin ( 90 ∘ ± α ) = ± cos α \sin(90^\circ\pm\alpha) = \pm\cos\alpha sin ( 9 0 ∘ ± α ) = ± cos α cos ( 90 ∘ ± α ) = ∓ sin α \cos(90^\circ\pm\alpha) = \mp\sin\alpha cos ( 9 0 ∘ ± α ) = ∓ sin α sin ( 180 ∘ − α ) = sin α \sin(180^\circ-\alpha) = \sin\alpha sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α cos ( 180 ∘ + α ) = − cos α \cos(180^\circ+\alpha) = -\cos\alpha cos ( 18 0 ∘ + α ) = − cos α sin ( 270 ∘ − α ) = − cos α \sin(270^\circ-\alpha) = -\cos\alpha sin ( 27 0 ∘ − α ) = − cos α cos ( 360 ∘ − α ) = cos α \cos(360^\circ-\alpha) = \cos\alpha cos ( 36 0 ∘ − α ) = cos α 2 Toplama düsturları: sin ( α ± β ) = sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β \sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cdot\cos\beta \pm \cos\alpha\cdot\sin\beta sin ( α ± β ) = sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β cos ( α ± β ) = cos α ⋅ cos β ∓ sin α ⋅ sin β \cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cdot\cos\beta \mp \sin\alpha\cdot\sin\beta cos ( α ± β ) = cos α ⋅ cos β ∓ sin α ⋅ sin β tan ( α ± β ) = tan α ± tan β 1 ∓ tan α ⋅ tan β \tan(\alpha\pm\beta) = \frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\cdot\tan\beta} tan ( α ± β ) = 1 ∓ t a n α ⋅ t a n β t a n α ± t a n β 3 İkiqat bucaq düsturları: sin 2 α = 2 sin α ⋅ cos α \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha sin 2 α = 2 sin α ⋅ cos α cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 4 İfadəni sadələşdirərkən əvvəlcə gətirmə düsturunu tətbiq et, sonra toplama düsturunu; bucağın rübünü düzgün müəyyən et (işarəni rüb verir, funksiya növü deyil). 5 İkiqat bucaq düsturunda cos 2 α \cos 2\alpha cos 2 α sin 2 \sin^2 sin 2 cos 2 α = 1 − 2 sin 2 α \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha cos 2 α = 1 − 2 sin 2 α Məşq 15 asan · 15 orta · 15 çətin
Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir
← Əvvəlki Radian, vahid çevrə və əsas eyniliklər Sonrakı → Triqonometrik funksiyalar və qrafikləri