m10-2.1· Fəsil 2: Triqonometrik ifadələr· ~13 dəq

Radian, vahid çevrə və əsas eyniliklər

Dərəcə↔radian, ixtiyari bucağın triqonometrik qiymətləri, əsas eyniliklər.

Bucaq ölçüsünün iki vahidi var: dərəcə və radian. Tam dövrə 360∘=2π360^\circ = 2\pi rad olduğundan çevirmə düsturu belədir: α∘=α⋅π180\alpha^\circ = \alpha \cdot \frac{\pi}{180} rad, yaxud α\alpha rad =α⋅180π= \alpha \cdot \frac{180}{\pi} dərəcə. Vahid çevrə (mərkəzi koordinat başlanğıcında, radiusu 1 olan çevrə) üzərindəki P(x, y)P(x,\, y) nöqtəsi üçün cos⁡α=x\cos\alpha = x, sin⁡α=y\sin\alpha = y, tan⁡α=yx\tan\alpha = \frac{y}{x} (x≠0x \ne 0), cot⁡α=xy\cot\alpha = \frac{x}{y} (y≠0y \ne 0) kimi təyin olunur.

Kvadrantdan asılı olaraq işarələr dəyişir: I rübdə hər ikisi müsbət; II rübdə sin⁡\sin müsbət, cos⁡\cos mənfi; III rübdə hər ikisi mənfi; IV rübdə sin⁡\sin mənfi, cos⁡\cos müsbət. Əsas eyniliklər: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, cot⁡α=cos⁡αsin⁡α\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, 1+tan⁡2α=1cos⁡2α1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}, 1+cot⁡2α=1sin⁡2α1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}.

Xüsusi bucaqlar: sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡45∘=22\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}.

📌Nümunə

Məsələn: 120∘=120⋅π180=2π3120^\circ = 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} radian, sin⁡120∘=sin⁡(180∘−60∘)=sin⁡60∘=32\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡120∘=−cos⁡60∘=−12\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}.

Qrafiklər

Vahid çevrə: radiusu 1 olan çevrədə α bucağına uyğun P nöqtəsi, cos α (absis) və sin α (ordinat)
Vahid çevrə: radiusu 1 olan çevrədə α bucağına uyğun P nöqtəsi, cos α (absis) və sin α (ordinat)

Əsas terminlər

Radian — Bucağın ikinci ölçü vahidi. Tam dövrə 2π2\pi rad =360∘= 360^\circ, yarım dövrə π\pi rad =180∘= 180^\circ.
Vahid çevrə — Mərkəzi koordinat başlanğıcında olan, radiusu 11 olan çevrə; üzərindəki nöqtə üçün cos⁡α=x\cos\alpha = x, sin⁡α=y\sin\alpha = y.
Əsas triqonometrik eynilik — sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1; buradan sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha, cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha.
Tangens və kotangens — tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} (cos⁡α≠0\cos\alpha \ne 0), cot⁡α=cos⁡αsin⁡α\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} (sin⁡α≠0\sin\alpha \ne 0); buna görə tan⁡α⋅cot⁡α=1\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1.
Rüb (kvadrant) — Çevrənin dörd hissəsi; bucağın hansı rübdə olması sin⁡α\sin\alpha və cos⁡α\cos\alpha işarələrini təyin edir.
İstinad bucağı — İxtiyari bucağın qiymətini xüsusi bucaqlara (30∘,45∘,60∘30^\circ,45^\circ,60^\circ) gətirən üsul, məsələn sin⁡120∘=sin⁡60∘\sin 120^\circ = \sin 60^\circ.
Xüsusi bucaqların triqonometrik qiymətləri
Bucaqsin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
0∘0^\circ001100
30∘30^\circ12\frac{1}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}33\frac{\sqrt{3}}{3}
45∘45^\circ22\frac{\sqrt{2}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}11
60∘60^\circ32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{2}3\sqrt{3}
90∘90^\circ1100—

cos⁡\cos sütunu sin⁡\sin sütununun tərsinə sıralanır.

Rüblərə görə işarələr
RübBucaqsin⁡α\sin\alphacos⁡α\cos\alpha
I0∘0^\circ–90∘90^\circ++++
II90∘90^\circ–180∘180^\circ++−-
III180∘180^\circ–270∘270^\circ−-−-
IV270∘270^\circ–360∘360^\circ−-++

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} I və III rübdə müsbət, II və IV rübdə mənfidir.

✎120∘120^\circ-ni radiana çevirib cos⁡120∘\cos 120^\circ-ni tapmaq
  1. 1Çevirmə düsturu: α∘=α⋅π180\alpha^\circ = \alpha \cdot \frac{\pi}{180} rad düsturundan istifadə edirik.
  2. 2Radian qiyməti: 120∘=120⋅π180=120π180=2π3120^\circ = 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} rad.
  3. 3Rüb və işarə: 120∘120^\circ II rübdədir, ona görə cos⁡\cos mənfi olmalıdır.
  4. 4İstinad bucağı: cos⁡120∘=−cos⁡60∘=−12\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}.
  5. 5Nəticə: 120∘=2π3120^\circ = \frac{2\pi}{3} rad, cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}.
✎sin⁡α=513\sin\alpha = \frac{5}{13}, α\alpha I rübdə: tan⁡α=?\tan\alpha = ?
  1. 1Əsas eynilik: cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−(513)2=1−25169=144169\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}.
  2. 2Kök al və işarə seç: cos⁡α=1213\cos\alpha = \frac{12}{13} (I rübdə cos⁡>0\cos > 0).
  3. 3Tangensin tərifi: tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=5/1312/13=512\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}.
  4. 4Nəticə: tan⁡α=512\tan\alpha = \frac{5}{12}.
⚠️Diqqət

Çevirməni qarışdırmayın: π2\frac{\pi}{2} rad =90∘= 90^\circ, π\pi rad =180∘= 180^\circ, 2π2\pi rad =360∘= 360^\circ. 180∘180^\circ üçün cavab π\pi-dir, π2\frac{\pi}{2} deyil.

🚫Tez-tez səhv

cos⁡120∘\cos 120^\circ üçün 12\frac{1}{2} yazmaq səhvdir: 120∘120^\circ II rübdədir, cos⁡\cos mənfi olur, ona görə cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}.

⚠️Diqqət

Rübə görə işarəni unutmayın: sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5}, α\alpha I rübdə ikən cos⁡α=+45\cos\alpha = +\frac{4}{5}; II rübdə isə −45-\frac{4}{5} olardı.

💡Qeyd

tan⁡α⋅cot⁡α=1\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1 olduğunu xatırlayın: belə hesablama ifadələrində bu hasil dərhal 11-ə bərabərdir.

💡Qeyd

(sin⁡α+cos⁡α)2=1+2sin⁡αcos⁡α(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha açılışı çoxlu məsələnin açarıdır, çünki sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.

Qaydalar

  1. 1Çevirmə: α∘=α⋅π180\alpha^\circ = \alpha \cdot \frac{\pi}{180} rad; α\alpha rad =α⋅180π= \alpha \cdot \frac{180}{\pi} dərəcə. Tam dövrə 2π2\pi rad =360∘= 360^\circ.
  2. 2Vahid çevrədə: cos⁡α=x\cos\alpha = x, sin⁡α=y\sin\alpha = y; işarə kvadrantdan asılıdır (I: hər ikisi ++; II: sin⁡+,cos⁡−\sin+,\cos-; III: hər ikisi −-; IV: sin⁡−,cos⁡+\sin-,\cos+).
  3. 3Əsas eynilik: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1; buradan sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha, cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha.
  4. 4tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} (cos⁡α≠0\cos\alpha \ne 0); cot⁡α=cos⁡αsin⁡α\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} (sin⁡α≠0\sin\alpha \ne 0); 1+tan⁡2α=1cos⁡2α1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}.
  5. 5Xüsusi qiymətlər: sin⁡0∘=0\sin 0^\circ = 0, sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1; cos⁡\cos dəyərləri tərsinə sıralanır.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq