m10-1.1· Fəsil 1: Funksiyalar· ~13 dəq

Funksiya, xassələri, mürəkkəb və tərs funksiya

Təyin oblastı, qiymətlər çoxluğu, cüt/tək, mürəkkəb və tərs funksiya, qrafik çevrilmələri.

Funksiya — hər bir $x \in D(f)$ elementinə $E(f)$ -dən yeganə bir $y$ elementi uyğun gətirən qaydadır. Təyin oblastı $D(f)$ funksiya üçün mənalı olan $x$ -lərin çoxluğu, qiymətlər çoxluğu $E(f)$ isə bütün mümkün çıxış dəyərlərinin çoxluğudur.

Funksiya cüt adlanır, əgər hər $x$ üçün $\fn{f(-x)=f(x)}$ olarsa (qrafik $Oy$ oxuna simmetrikdir); tək adlanır, əgər $\fo{f(-x)=-f(x)}$ olarsa (qrafik koordinat başlanğıcına simmetrikdir). Mürəkkəb funksiya $g \circ f(x)=g(f(x))$ kimi yazılır — əvvəl daxili $f$ , sonra xarici $g$ tətbiq olunur.

Əgər $f$ qarşılıqlı birqiymətlidirsə, onda tərs funksiya $f^{-1}$ mövcuddur və onun qrafiki $f$ -nin qrafikinin $y=x$ düz xəttinə görə simmetrik əksidir. Qrafik çevrilmələri: $y=f(x)+k$ qrafiki $k$ vahid yuxarı/aşağı, $y=f(x-h)$ isə $h$ vahid sağa/sola sürüşür; $y=-f(x)$ ifadəsi $Ox$ oxuna, $y=f(-x)$ isə $Oy$ oxuna görə əksetdirmə verir.

📌Nümunə

Məsələn: $f(x)=x^{2}-4$ funksiyasının qrafikini çəkmək üçün onu $y=x^{2}$ qrafikinin 4 vahid aşağı sürüşməsi kimi düşünmək kifayətdir, yəni qrafik $(0,\,-4)$ nöqtəsindən keçir.

y = x² qrafiki 4 vahid aşağı sürüşərək y = x² − 4 qrafikini verir; təpə nöqtəsi (0, −4)

Cüt funksiya Oy oxuna, tək funksiya koordinat başlanğıcına simmetrikdir

f(x) = x² və onun tərsi f⁻¹(x) = √x qrafikləri y = x düz xəttinə görə simmetrikdir

Əsas terminlər

Təyin oblastı

D(f)

— Funksiya üçün mənalı olan bütün

x

-lərin çoxluğu; məxrəc sıfır, kökaltı isə mənfi ola bilməz.

Qiymətlər çoxluğu

E(f)

— Funksiyanın bütün mümkün çıxış dəyərlərinin (

y

qiymətlərinin) çoxluğu.

Cüt funksiya — Hər

x

üçün

f(-x)=f(x)

olan funksiya; qrafiki

Oy

oxuna simmetrikdir.

Tək funksiya — Hər

x

üçün

f(-x)=-f(x)

olan funksiya; qrafiki koordinat başlanğıcına simmetrikdir.

Mürəkkəb funksiya

g\circ f

—

g(f(x))

kimi yazılır — əvvəl daxili

f

, sonra xarici

g

tətbiq olunur.

Tərs funksiya

f^{-1}

—

f^{-1}(y)=x \Leftrightarrow f(x)=y

; qrafiki

f

-nin

y=x

düz xəttinə görə simmetrik əksidir.

Cüt/tək funksiya əlamətləri

Növ	Şərt	Simmetriya
Cüt	$f(-x)=f(x)$	$Oy$ oxuna
Tək	$f(-x)=-f(x)$	$O$ başlanğıcına

Funksiyanın cüt və ya tək olmasını $f(-x)$ ilə $f(x)$ -i müqayisə edərək təyin et.

Qrafik çevrilmələri

İfadə	Çevrilmə
$y=f(x)+k$	$k$ vahid yuxarı/aşağı sürüşmə
$y=f(x-h)$	$h$ vahid sağa/sola sürüşmə
$y=-f(x)$	$Ox$ oxuna görə əksetdirmə
$y=f(-x)$	$Oy$ oxuna görə əksetdirmə

Daxili dəyişiklik ( $x$ -də) yatay, xarici dəyişiklik ( $y$ -də) şaquli çevrilmə verir.

✎Təyin oblastının tapılması:

f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x^2-9}

1Kökaltı şərti: Kökaltı mənfi ola bilməz: $x+2\ge 0 \Rightarrow x\ge -2$ . Qeyd: $x=-2$ daxildir, çünki $\sqrt{0}=0$ müəyyəndir.
2Məxrəc şərti: Məxrəc sıfır ola bilməz: $x^2-9\ne 0 \Rightarrow x\ne 3$ və $x\ne -3$ . Burada $x\ge -2$ olduğundan yalnız $x\ne 3$ qalır.
3Şərtləri birləşdir: Hər iki şərti kəsişdirək: $x\ge -2$ və $x\ne 3$ .
4Nəticə: $D(f)=\{x\ge -2,\ x\ne 3\}$ .

✎Mürəkkəb funksiya:

f(x)=x^2+1

g(x)=\sqrt{x}

üçün

g(f(2))

1Daxili funksiyanı hesabla: Əvvəl daxili $f$ -i tətbiq et: $f(2)=2^2+1=5$ .
2Xarici funksiyanı tətbiq et: Sonra xarici $g$ -ni alınan nəticəyə tətbiq et: $g(5)=\sqrt{5}$ .
3Nəticə: $g(f(2))=\sqrt{5}\approx 2{,}24$ .

⚠️Diqqət

Kökaltı ifadədə bərabərlik sərhədini buraxma: $\sqrt{x-3}$ üçün $x=3$ daxildir, çünki $\sqrt{0}=0$ müəyyəndir, ona görə cavab $x\ge 3$ -dir, $x>3$ deyil.

🚫Tez-tez səhv

Sürüşmə işarələrini qarışdırma: $f(x)+4$ qrafiki $4$ vahid YUXARI sürüşdürür, aşağı deyil; aşağı üçün $f(x)-4$ yazılır.

🚫Tez-tez səhv

$f(x-h)$ yatay sürüşmədir, $y$ -ə təsir etmir: $(2,5)$ nöqtəsi $y=f(x-3)$ -də $(5,5)$ -ə keçir — $y$ dəyişmir, yalnız $x$ artır.

💡Qeyd

Cüt $\times$ tək $=$ tək: cüt $f$ və tək $g$ üçün $h=f\cdot g$ funksiyası tək olur, çünki $h(-x)=f(x)\cdot(-g(x))=-h(x)$ .

⚠️Diqqət

$y=f(-x)$ ( $Oy$ -ə əksetdirmə) ilə $y=-f(x)$ ( $Ox$ -ə əksetdirmə) qarışdırma: $(3,7)$ nöqtəsi $f(-x)$ -də $(-3,7)$ -ə, $-f(x)$ -də isə $(3,-7)$ -ə keçir.

Qaydalar

1Kəsr funksiyada məxrəc sıfıra bərabər ola bilməz, kökaltı ifadə isə mənfi ola bilməz — bu şərtlər $D(f)$ -i müəyyən edir.
2 $\fn{f(-x)=f(x)} \Rightarrow$ cüt funksiya ( $Oy$ -ə simmetrik qrafik); $\fo{f(-x)=-f(x)} \Rightarrow$ tək funksiya ( $O$ nöqtəsinə simmetrik qrafik).
3Mürəkkəb funksiyanın təyin oblastı $D(g \circ f)$ : əvvəlcə $f$ -nin $D(f)$ -ni tap, sonra $g(f(x))$ üçün $D(g)$ şərtini ödəyən $x$ -ləri saxla.
4Biryönlü $f$ üçün $f^{-1}(y)=x \Leftrightarrow f(x)=y$ ; $f^{-1}$ -in qrafiki $f$ -nin qrafikinin $y=x$ düzünə simmetrik əksidir.
5 $y=f(x-h)+k$ : qrafik $h$ vahid sağa ( $h>0$ ) və $k$ vahid yuxarı ( $k>0$ ) sürüşür; $y=-f(x)$ $Ox$ -ə, $y=f(-x)$ $Oy$ -ə əksetdirmədir.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq

Funksiya, xassələri, mürəkkəb və tərs funksiya

Qrafiklər

Əsas terminlər

Qaydalar

Məşq