eg1-5.3· Fəsil 5: Həndəsə və ölçmə· ~14 dəq

Çoxüzlülər və fırlanma cisimləri

Prizma, paralelepiped, piramida, silindr, konus və kürənin həcm və səthi.

Düz prizmanın həcmi $V = S\cdot h$ ( $S$ — oturacaq sahəsi), piramidanın həcmi $V = \frac{1}{3}\cdot S\cdot h$ -dir.

Fırlanma cisimləri üçün: silindr $V = \pi r^2 h$ və yan səth $2\pi r h$ ; konus $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ və yan səth $\pi r l$ ( $l$ — yan tərəf); kürə $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ və səth $S = 4\pi r^2$ . Konus və piramidada $\frac{1}{3}$ əmsalını unutmamaq vacibdir.

📌Nümunə

Məsələn, oturacaq tərəfi $3$ və $4$ , hündürlüyü $5$ olan düzbucaqlı paralelepipedin həcmi $V = 3\cdot 4\cdot 5 = 60$ -dır.

Əsas terminlər

Düz prizma — Yan tilləri oturacağa perpendikulyar olan çoxüzlü; həcmi

V = S\cdot h

(

S

— oturacaq sahəsi).

Piramida — Bir oturacağı və bir təpəsi olan çoxüzlü; həcmi

V = \frac{1}{3}\cdot S\cdot h

Silindr — Düzbucaqlının fırlanmasından alınan cisim;

V = \pi r^2 h

, yan səth

2\pi r h

Konus — Düzbucaqlı üçbucağın fırlanmasından alınan cisim;

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

, doğuranı

l = \sqrt{r^2 + h^2}

Kürə — Mərkəzdən bərabər uzaqlıqdakı nöqtələrin yaratdığı cisim;

V = \frac{4}{3}\pi r^3

, səth

S = 4\pi r^2

Doğuran (

l

) — Konusun təpəsini oturacaq çevrəsi ilə birləşdirən tərəf;

l^2 = r^2 + h^2

Həcm və səth düsturları

Cisim	Həcm $V$	Səth
Düzbucaqlı paralelepiped	$a\cdot b\cdot c$	$2(ab+bc+ca)$
Düz prizma	$S\cdot h$	$2S + P\cdot h$
Piramida	$\frac{1}{3}S\cdot h$	—
Silindr	$\pi r^2 h$	$2\pi r(r+h)$
Konus	$\frac{1}{3}\pi r^2 h$	$\pi r(r+l)$
Kürə	$\frac{4}{3}\pi r^3$	$4\pi r^2$

$P$ — oturacaq perimetri, $l$ — konusun doğuranı.

Oxşar cisimlərdə nisbətlər

Xətti nisbət	Səth nisbəti	Həcm nisbəti
$k$	$k^2$	$k^3$
$1:2$	$1:4$	$1:8$
$2:3$	$4:9$	$8:27$

Xətti ölçü $k$ dəfə artarsa, səth $k^2$ , həcm $k^3$ dəfə artır.

✎Konusun yan səthi (əvvəlcə doğuran)

1Verilən: Oturacaq radiusu $r = 5$ , hündürlük $h = 12$ .
2Doğuranı tap: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ .
3Yan səth düsturu: $S_{\text{yan}} = \pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 13$ .
4Cavab: $S_{\text{yan}} = 65\pi$ .

✎Silindrdən konus çıxarıldıqda qalan həcm

1Verilən: Silindr və konus eyni ölçüdə: $r = 5$ , $h = 5$ .
2Silindrin həcmi: $V_{\text{sil}} = \pi r^2 h = \pi \cdot 25 \cdot 5 = 125\pi$ .
3Konusun həcmi: $V_{\text{kon}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\cdot 125\pi = \frac{125\pi}{3}$ .
4Qalan həcm: $V = 125\pi - \frac{125\pi}{3} = \frac{375\pi - 125\pi}{3} = \frac{250\pi}{3}$ .

🚫Tez-tez səhv

Konus və piramidada $\frac{1}{3}$ əmsalını unutma. Məsələn $\pi r^2 h$ ( $=180\pi$ ) yazıb $\frac{1}{3}$ -i atmaq tipik səhvdir; düzgünü $60\pi$ .

⚠️Diqqət

Diametr verilibsə əvvəlcə $r = \frac{d}{2}$ götür. Kürə səthində birbaşa diametri qoymaq ( $4\pi\cdot 10^2 = 400\pi$ ) səhvdir; $r=5$ üçün cavab $100\pi$ .

⚠️Diqqət

Silindrin tam səthində iki oturacağı unutma: yalnız yan səth $2\pi r h$ kifayət etmir, düstur $2\pi r(r+h)$ -dir.

💡Qeyd

Oxşar cisimlərdə xətti ölçü $k$ dəfə dəyişəndə həcm $k^3$ dəfə dəyişir: radiuslar $1:2$ olarsa həcmlər $1:8$ olur.

💡Qeyd

Konusun yan səthində $l$ doğurandır, $h$ hündürlük deyil: əvvəlcə $l = \sqrt{r^2+h^2}$ tap, sonra $\pi r l$ tətbiq et.

Qaydalar

1Prizma/paralelepiped: $V = S\cdot h$ ; düzbucaqlı paralelepiped $V = a\cdot b\cdot c$ .
2Piramida: $V = \frac{1}{3}\cdot S\cdot h$ .
3Silindr: $V = \pi r^2 h$ , yan səth $S_{\text{yan}} = 2\pi r h$ , tam səth $= 2\pi r(r+h)$ .
4Konus: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ , yan səth $= \pi r l$ , $l^2 = r^2 + h^2$ .
5Kürə: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ , səth $S = 4\pi r^2$ .

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq