eg1-5.4· Fəsil 5: Həndəsə və ölçmə· ~14 dəq

Vektorlar və koordinat həndəsəsi

Vektorların koordinatları, uzunluq, skalyar hasil, nöqtələr arası məsafə və düz xəttin tənliyi.

Koordinat müstəvisində nöqtə cüt (x;y)(x; y) ilə, vektor isə koordinatları ilə verilir: A(x1;y1)A(x_1; y_1), B(x2;y2)B(x_2; y_2) üçün AB⃗\vec{AB} vektoru (x2−x1;y2−y1)(x_2 - x_1; y_2 - y_1). Vektorun uzunluğu ∣a⃗∣=ax2+ay2|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}, iki nöqtə arası məsafə isə d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}-dir.

Vektorları koordinatlarına görə toplayır, çıxır və ədədə vururuq. Skalyar hasil a⃗⋅b⃗=axbx+ayby=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi; iki vektor perpendikulyardırsa skalyar hasil sıfırdır. Parçanın orta nöqtəsi koordinatların yarı cəmidir. Bucaq əmsalı kk olan və (x0;y0)(x_0; y_0)-dan keçən düz xəttin tənliyi y−y0=k(x−x0)y - y_0 = k(x - x_0)-dır.

📌Nümunə

Misal: a⃗(3;4)\vec{a}(3; 4) vektorunun uzunluğu ∣a⃗∣=32+42=25=5|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.

Qrafiklər

Koordinat müstəvisində A(1; 2) və B(5; 6) nöqtələri; AB vektoru və d məsafəsi
Koordinat müstəvisində A(1; 2) və B(5; 6) nöqtələri; AB vektoru və d məsafəsi

Əsas terminlər

Vektorun koordinatları — A(x1;y1)A(x_1; y_1), B(x2;y2)B(x_2; y_2) üçün AB⃗=(x2−x1;y2−y1)\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1); sonuncu nöqtədən başlanğıc çıxılır.
Vektorun uzunluğu (modulu) — ∣a⃗∣=ax2+ay2|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}; koordinatlar əvvəlcə kvadrata yüksəldilir, sonra kök alınır. Həmişə müsbətdir.
Skalyar hasil — a⃗⋅b⃗=axbx+ayby=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi; uyğun koordinatların hasillərinin cəmidir.
Perpendikulyarlıq şərti — a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 0. Skalyar hasil sıfır olduqda vektorlar perpendikulyardır.
Parçanın orta nöqtəsi — M=(x1+x22;y1+y22)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right); uc nöqtələrin koordinatlarının yarı cəmidir.
Düz xəttin bucaq əmsalı — y=kx+by = kx + b tənliyində xx-in əmsalı kk; iki nöqtə üçün k=ΔyΔx=y2−y1x2−x1k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.
Koordinat həndəsəsinin əsas düsturları
AnlayışDüstur
Vektor AB⃗\vec{AB}(x2−x1;y2−y1)(x_2 - x_1; y_2 - y_1)
Uzunluq ∣a⃗∣|\vec{a}|ax2+ay2\sqrt{a_x^2 + a_y^2}
Məsafə dd(x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
Skalyar hasilaxbx+aybya_x b_x + a_y b_y
Orta nöqtə MM(x1+x22;y1+y22)\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
Düz xətty−y0=k(x−x0)y - y_0 = k(x - x_0)

Bütün düsturlar koordinatlarla işləyir; uzunluq və məsafədə əvvəlcə kvadrat, sonra kök alınır.

Düz xətlərin qarşılıqlı vəziyyəti
VəziyyətBucaq əmsalları arasında şərt
Paralelk1=k2k_1 = k_2
Perpendikulyark1⋅k2=−1k_1 \cdot k_2 = -1

Paralel xətlərdə əmsallar bərabər; perpendikulyarda hasilləri −1-1-dir.

✎Perpendikulyarlıqdan naməlumun tapılması
  1. 1Şərt: a⃗(2;k)\vec{a}(2; k) və b⃗(6;−4)\vec{b}(6; -4) perpendikulyardır; kk-nı tap.
  2. 2Perpendikulyarlıq şərtini yaz: a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 0, yəni axbx+ayby=0a_x b_x + a_y b_y = 0.
  3. 3Koordinatları yerinə qoy: 2⋅6+k⋅(−4)=0⇒12−4k=02\cdot 6 + k\cdot(-4) = 0 \Rightarrow 12 - 4k = 0.
  4. 4Tənliyi həll et: 4k=12⇒k=124=34k = 12 \Rightarrow k = \frac{12}{4} = 3. Cavab: k=3k = 3.
✎Cəm vektorunun uzunluğu
  1. 1Şərt: a⃗(3;4)\vec{a}(3; 4) və b⃗(4;−3)\vec{b}(4; -3) üçün ∣a⃗+b⃗∣|\vec{a} + \vec{b}|-ni tap.
  2. 2Vektorları topla: a⃗+b⃗=(3+4; 4+(−3))=(7;1)\vec{a} + \vec{b} = (3 + 4;\ 4 + (-3)) = (7; 1).
  3. 3Uzunluq düsturunu tətbiq et: ∣a⃗+b⃗∣=72+12=49+1=50|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}.
  4. 4Kökü sadələşdir: 50=25⋅2=52\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}. Cavab: 525\sqrt{2}.
🚫Tez-tez səhv

Uzunluq tapanda koordinatları toplamaq olmaz: ∣a⃗(3;4)∣=32+42=5|\vec{a}(3;4)| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5-dir, 3+4=73 + 4 = 7 deyil.

🚫Tez-tez səhv

AB⃗\vec{AB} vektorunda sonuncu nöqtədən başlanğıc çıxılır: AB⃗=(x2−x1;y2−y1)\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1). Tərsini götürsən BA⃗\vec{BA} alınır.

⚠️Diqqət

Skalyar hasil 00-a bərabərdirsə vektorlar perpendikulyardır və cos⁡φ=0\cos\varphi = 0-dır; bu halda cos⁡φ=1\cos\varphi = 1 ola bilməz.

💡Qeyd

Orta nöqtə koordinatların yarı cəmidir; verilmiş uc və orta nöqtə üçün digər uc B=2M−AB = 2M - A düsturu ilə tapılır.

💡Qeyd

y=kx+by = kx + b tənliyində kk bucaq əmsalı, bb isə OyOy oxu ilə kəsişmə ordinatıdır; ikisini qarışdırma.

Qaydalar

  1. 1AB⃗\vec{AB} vektoru =(x2−x1;y2−y1)= (x_2 - x_1; y_2 - y_1); uzunluq ∣a⃗∣=ax2+ay2|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}.
  2. 2İki nöqtə arası məsafə d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.
  3. 3Skalyar hasil a⃗⋅b⃗=axbx+ayby\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y; a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b} = 0.
  4. 4Orta nöqtə M=(x1+x22;y1+y22)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right).
  5. 5Düz xətt: y−y0=k(x−x0)y - y_0 = k(x - x_0); paralel xətlərdə kk bərabər, perpendikulyarda k1⋅k2=−1k_1\cdot k_2 = -1.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq