eg1-5.1· Fəsil 5: Həndəsə və ölçmə· ~14 dəq

Üçbucaqlar: sahə, oxşarlıq, sinus və kosinus teoremləri

Pifaqor, Heron, sinus və kosinus teoremləri, oxşarlıq və sahə nisbətləri ilə üçbucaq məsələləri.

Üçbucağın sahəsini müxtəlif düsturlarla hesablamaq olar: S=12⋅a⋅hS = \frac{1}{2}\cdot a\cdot h (oturacaq və hündürlük), S=12⋅a⋅b⋅sin⁡CS = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C (iki tərəf və aralarındakı bucaq), Heron düsturu S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, burada pp yarımperimetrdir.

Sinus teoremi asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, kosinus teoremi isə a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos A əlaqəsini verir. Oxşar üçbucaqlarda xətti ölçülərin nisbəti kk olduqda sahələrin nisbəti k2k^2-dır.

📌Nümunə

Məsələn, tərəfləri 55 və 88, aralarındakı bucağı 30∘30^\circ olan üçbucağın sahəsi S=12⋅5⋅8⋅sin⁡30∘=12⋅5⋅8⋅0,5=10S = \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot 0,5 = 10 olur.

Əsas terminlər

Yarımperimetr pp — Üçbucağın tərəfləri cəminin yarısı: p=a+b+c2p = \frac{a+b+c}{2}. Heron düsturunda istifadə olunur.
Heron düsturu — Üç tərəfi məlum üçbucağın sahəsi: S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.
Sinus teoremi — asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, burada RR — xaricə çəkilmiş çevrənin radiusu.
Kosinus teoremi — a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos A — bir bucaq və iki tərəflə qarşı tərəfi tapır.
Oxşarlıq əmsalı kk — Oxşar üçbucaqlarda xətti ölçülərin (tərəf, perimetr) nisbəti; sahələrin nisbəti isə k2k^2-dır.
Daxili çevrənin radiusu rr — Üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu: r=Spr = \frac{S}{p} (SS — sahə, pp — yarımperimetr).
Üçbucaq sahəsinin düsturları
VerilənDüstur
Oturacaq və hündürlükS=12⋅a⋅hS = \frac{1}{2}\cdot a\cdot h
İki tərəf və aralarındakı bucaqS=12⋅a⋅b⋅sin⁡CS = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C
Üç tərəf (Heron)S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
Düzbucaqlı (katetlər)S=12⋅a⋅bS = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b
Bərabərtərəfli (tərəf aa)S=a234S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

Hansı düsturun seçilməsi verilən kəmiyyətlərdən asılıdır.

Teoremlər və nisbətlər
AdƏlaqə
Pifaqor teoremic2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 (hipotenuz cc)
Sinus teoremiasin⁡A=2R\frac{a}{\sin A} = 2R
Kosinus teoremia2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
Oxşarlıqda sahəS1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2
Daxili çevrə radiusur=Spr = \frac{S}{p}

Düzbucaqlı üçbucaqda xaricə çəkilmiş çevrənin radiusu hipotenuzun yarısıdır.

✎Heron düsturu ilə sahə (tərəflər 1313, 1414, 1515)
  1. 1Yarımperimetr: p=13+14+152=422=21p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21.
  2. 2Fərqlər: p−a=21−13=8p-a = 21-13 = 8,   p−b=21−14=7\;p-b = 21-14 = 7,   p−c=21−15=6\;p-c = 21-15 = 6.
  3. 3Kök altına yaz: S=21⋅8⋅7⋅6=7056S = \sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} = \sqrt{7056}.
  4. 4Nəticə: S=7056=84S = \sqrt{7056} = 84.
✎Kosinus teoremi ilə üçüncü tərəf (tərəflər 55 və 88, bucaq 60∘60^\circ)
  1. 1Düsturu yaz: c2=a2+b2−2abcos⁡C=52+82−2⋅5⋅8⋅cos⁡60∘c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 5^2 + 8^2 - 2\cdot 5\cdot 8\cdot\cos 60^\circ.
  2. 2Bucaq qiymətini qoy: cos⁡60∘=0,5\cos 60^\circ = 0{,}5, deməli c2=25+64−80⋅0,5c^2 = 25 + 64 - 80\cdot 0{,}5.
  3. 3Hesabla: c2=89−40=49c^2 = 89 - 40 = 49.
  4. 4Nəticə: c=49=7c = \sqrt{49} = 7.
🚫Tez-tez səhv

Sahə düsturunda 12\frac{1}{2} əmsalını unutmayın: tərəflər 99 və 1010, bucaq 90∘90^\circ olduqda S=12⋅9⋅10=45S = \frac{1}{2}\cdot 9\cdot 10 = 45-dir, 9090 deyil (9090 yalnız a⋅ba\cdot b hasilidir).

⚠️Diqqət

sin⁡150∘=0,5\sin 150^\circ = 0{,}5-dir, 32\frac{\sqrt{3}}{2} deyil. 150∘150^\circ ilə 60∘60^\circ-ni qarışdırsanız, nəticəyə yanlış 3\sqrt{3} daxil olar.

⚠️Diqqət

Sinus teoremində asin⁡A=2R\frac{a}{\sin A} = 2R-dir. RR soruşulduqda alınan qiyməti 22-yə bölün — birbaşa asin⁡A\frac{a}{\sin A} götürsəniz 2R2R alarsınız.

💡Qeyd

Oxşar üçbucaqlarda sahə nisbəti əmsalın kvadratıdır: k=4k=4 olduqda S1S2=16\frac{S_1}{S_2}=16. Tərsinə, sahə nisbəti 925\frac{9}{25} olduqda perimetr nisbəti onun kökü 35\frac{3}{5}-dir.

💡Qeyd

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuz xaricə çəkilmiş çevrənin diametridir, ona görə R=hipotenuz2R = \frac{\text{hipotenuz}}{2} (məsələn 66-88-1010 üçün R=5R = 5).

Qaydalar

  1. 1S=12⋅a⋅b⋅sin⁡C=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin C = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, p=a+b+c2p = \frac{a+b+c}{2}
  2. 2Sinus teoremi: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
  3. 3Kosinus teoremi: a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos A
  4. 4Oxşar üçbucaqlarda S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2 (kk — oxşarlıq əmsalı)
  5. 5Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza endirilmiş hündürlük: h2=m⋅nh^2 = m\cdot n, S=12⋅a⋅bS = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq