eg1-4.2· Fəsil 4: Triqonometriya· ~14 dəq

Triqonometrik tənliklər

Sadə triqonometrik tənliklər, ümumi həll düsturları və verilmiş aralıqda köklərin tapılması.

sin⁡x=a\sin x = a tənliyinin həlli x=(−1)n⋅arcsin⁡a+πnx = (-1)^n\cdot\arcsin a + \pi n, cos⁡x=a\cos x = a tənliyinin həlli x=±arccos⁡a+2πnx = \pm\arccos a + 2\pi n, tan⁡x=a\tan x = a tənliyinin həlli isə x=arctan⁡a+πnx = \arctan a + \pi n şəklindədir (n∈Zn \in \mathbb{Z}).

Xüsusi hallarda sadə düsturlardan istifadə olunur: sin⁡x=0⇒x=πn\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n; cos⁡x=0⇒x=π2+πn\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n. Kvadrat şəklə gətirilən tənliklərdə t=sin⁡xt = \sin x (və ya cos⁡x\cos x) əvəzləməsi aparılır və alınan kvadrat tənlik həll edilir.

📌Nümunə

Məsələn, sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} tənliyinin həlli x=(−1)n⋅π6+πnx = (-1)^n\cdot\frac{\pi}{6} + \pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z} olur.

Qrafiklər

sin x və cos x funksiyalarının [0; 2π] aralığında qrafikləri
sin x və cos x funksiyalarının [0; 2π] aralığında qrafikləri

Əsas terminlər

Sadə triqonometrik tənlik — sin⁡x=a\sin x = a, cos⁡x=a\cos x = a və ya tan⁡x=a\tan x = a şəklində tənlik; həlli sonsuz sayda kök seriyası verir.
Ümumi həll (kök seriyası) — Tənliyin bütün köklərini n∈Zn \in \mathbb{Z} tam ədədi ilə ifadə edən düstur, məsələn x=arctan⁡a+πnx = \arctan a + \pi n.
Funksiyanın dövrü — Sinus və kosinusun dövrü 2π2\pi, tangensin dövrü isə π\pi-dir; bu, kök düsturundakı +πn+\pi n və ya +2πn+2\pi n-i təyin edir.
Həll şərti ∣a∣≤1|a| \le 1 — sin⁡x=a\sin x = a və cos⁡x=a\cos x = a tənliyinin kökü yalnız ∣a∣≤1|a| \le 1 olduqda var; tangensdə isə aa istənilən qiymət ola bilər.
Əvəzləmə t=sin⁡xt = \sin x — Kvadrat şəklə gələn tənlikdə t=sin⁡xt = \sin x (və ya t=cos⁡xt = \cos x) qoyulur; alınan kvadrat tənlik həll edilib geri qaytarılır.
Yararsız kök — t=sin⁡xt = \sin x və ya t=cos⁡xt = \cos x üçün alınan ∣t∣>1|t| > 1 qiyməti tənliyi ödəmir və atılır.
Sadə tənliklərin ümumi həll düsturları
TənlikŞərtÜmumi həll (n∈Zn \in \mathbb{Z})
sin⁡x=a\sin x = a∣a∣≤1|a| \le 1x=(−1)narcsin⁡a+πnx = (-1)^n\arcsin a + \pi n
cos⁡x=a\cos x = a∣a∣≤1|a| \le 1x=±arccos⁡a+2πnx = \pm\arccos a + 2\pi n
tan⁡x=a\tan x = ahər aax=arctan⁡a+πnx = \arctan a + \pi n

Sinus tək seriyalı (−1)n(-1)^n, kosinus ±\pm ilə qoşa seriyalı, tangens isə tək seriyalıdır.

Xüsusi qiymətlər üçün hazır köklər
TənlikKöklər (n∈Zn \in \mathbb{Z})
sin⁡x=0\sin x = 0x=πnx = \pi n
sin⁡x=1\sin x = 1x=π2+2πnx = \frac{\pi}{2} + 2\pi n
cos⁡x=0\cos x = 0x=π2+πnx = \frac{\pi}{2} + \pi n
cos⁡x=1\cos x = 1x=2πnx = 2\pi n
cos⁡x=−1\cos x = -1x=π+2πnx = \pi + 2\pi n
tan⁡x=0\tan x = 0x=πnx = \pi n

Xüsusi hallarda ±\pm və ya (−1)n(-1)^n artıqdır, çünki bir seriya bütün kökləri əhatə edir.

✎cos⁡x=−12\cos x = -\frac{1}{2} tənliyini həll edin
  1. 1Düsturu seçirik: Kosinus tənliyidir: x=±arccos⁡a+2πnx = \pm\arccos a + 2\pi n, a=−12a = -\frac{1}{2}.
  2. 2arccos⁡\arccos qiymətini taparıq: Mənfi qiymət üçün arccos⁡(−12)=π−π3=2π3\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.
  3. 3Düsturda yerinə qoyuruq: x=±2π3+2πnx = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}. Dövr 2π2\pi olaraq qalır.
  4. 4Cavab: x=±2π3+2πnx = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
✎2cos⁡2x−cos⁡x−1=02\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 tənliyini həll edin
  1. 1Əvəzləmə: t=cos⁡xt = \cos x qoyuruq: 2t2−t−1=02t^2 - t - 1 = 0, burada ∣t∣≤1|t| \le 1 olmalıdır.
  2. 2Kvadrat tənliyi həll edirik: Köklər t=1t = 1 və t=−12t = -\frac{1}{2}; hər ikisi ∣t∣≤1|t| \le 1 şərtini ödəyir.
  3. 3cos⁡x=1\cos x = 1 halı: Xüsusi hal: x=2πnx = 2\pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
  4. 4cos⁡x=−12\cos x = -\frac{1}{2} halı: x=±2π3+2πnx = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
  5. 5Cavab: x=2πnx = 2\pi n və x=±2π3+2πnx = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
✎sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} tənliyinin [0;2π][0; 2\pi] aralığında neçə kökü var?
  1. 1Ümumi həll: x=(−1)nπ6+πnx = (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
  2. 2Kökləri aralığa görə sıralayırıq: n=0n = 0: x=π6x = \frac{\pi}{6}; n=1n = 1: x=π−π6=5π6x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}. Hər ikisi [0;2π][0; 2\pi] daxilindədir.
  3. 3Növbəti kökləri yoxlayırıq: n=2n = 2: x=2π+π6>2πx = 2\pi + \frac{\pi}{6} > 2\pi; aralıqdan kənardır, daxil edilmir.
  4. 4Cavab: Aralıqda 22 kök var.
🚫Tez-tez səhv

tan⁡x=−1\tan x = -1 üçün dövrü 2πn2\pi n yazmaq səhvdir: tangensin dövrü π\pi-dir, ona görə x=−π4+πnx = -\frac{\pi}{4} + \pi n.

⚠️Diqqət

Sinus tənliyini kosinus düsturu ilə qarışdırmayın: sin⁡x=a\sin x = a üçün (−1)n(-1)^n və +πn+\pi n, cos⁡x=a\cos x = a üçün ±\pm və +2πn+2\pi n lazımdır.

⚠️Diqqət

Arqument kxkx olduqda dövr də dəyişir: tan⁡3x=3\tan 3x = \sqrt{3}-də əvvəl 3x=π3+πn3x = \frac{\pi}{3} + \pi n, sonra 33-ə bölüb x=π9+πn3x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3} alınır.

💡Qeyd

Kvadrat tənliyə gətirdikdən sonra t=sin⁡xt = \sin x və ya cos⁡x\cos x üçün ∣t∣>1|t| > 1 alınan kökü atın — yararsızdır.

💡Qeyd

Mənfi kosinus üçün arccos⁡(−a)=π−arccos⁡a\arccos(-a) = \pi - \arccos a: məsələn cos⁡x=−32\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}-də arccos⁡=5π6\arccos = \frac{5\pi}{6}.

Qaydalar

  1. 1sin⁡x=a\sin x = a, ∣a∣≤1|a| \le 1: x=(−1)n⋅arcsin⁡a+πnx = (-1)^n\cdot\arcsin a + \pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
  2. 2cos⁡x=a\cos x = a, ∣a∣≤1|a| \le 1: x=±arccos⁡a+2πnx = \pm\arccos a + 2\pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
  3. 3tan⁡x=a\tan x = a: x=arctan⁡a+πnx = \arctan a + \pi n, n∈Zn \in \mathbb{Z}.
  4. 4Xüsusi: sin⁡x=0⇒x=πn\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n; cos⁡x=0⇒x=π2+πn\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n; sin⁡x=1⇒x=π2+2πn\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; cos⁡x=1⇒x=2πn\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq