eg1-3.3· Fəsil 3: Funksiyalar və analiz· ~15 dəq

Törəmə və onun tətbiqləri

Əsas funksiyaların törəmələri, törəmə qaydaları, toxunan xətt, artma-azalma və ekstremumlar.

Funksiyanın törəməsi onun dəyişmə sürətini göstərir və f′(x)f'(x) ilə işarələnir. Əsas qaydalar: (xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}, sabitin törəməsi 00-dır, cəmin törəməsi törəmələrin cəmidir.

Mürəkkəb funksiyada zəncir qaydası tətbiq olunur: (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x). f′(x0)f'(x_0) ədədi x0x_0 nöqtəsində qrafikə çəkilən toxunanın bucaq əmsalıdır.

📌Nümunə

Məsələn, f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x üçün f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3; f′(x)=0f'(x) = 0 olduqda x=±1x = \pm 1 kritik nöqtələrdir, x=1x = 1-də minimum, x=−1x = -1-də maksimum alınır.

Əsas terminlər

Törəmə f′(x)f'(x) — Funksiyanın dəyişmə sürətini göstərən kəmiyyət; f′(x)f'(x) ilə işarələnir.
Üst qaydası — (xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1} — üst əmsala keçir, üst isə 11 azalır.
Zəncir qaydası — Mürəkkəb funksiya üçün (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x); daxili funksiyanın törəməsi vurulur.
Toxunanın bucaq əmsalı — f′(x0)f'(x_0) ədədi x0x_0 nöqtəsində qrafikə çəkilən toxunanın bucaq əmsalına bərabərdir.
Kritik nöqtə — f′(x)=0f'(x) = 0 olan nöqtə; ekstremum (maksimum və ya minimum) namizədidir.
Artma-azalma — f′(x)>0f'(x) > 0 olduqda funksiya artır, f′(x)<0f'(x) < 0 olduqda azalır.
Əsas funksiyaların törəmələri
f(x)f(x)f′(x)f'(x)
xnx^nn⋅xn−1n \cdot x^{n-1}
cc (sabit)00
x\sqrt{x}12x\frac{1}{2\sqrt{x}}
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x
exe^xexe^x
ln⁡x\ln x1x\frac{1}{x}

Cədvəl törəmələri; sabit əmsal saxlanır, cəmin törəməsi törəmələrin cəmidir.

Törəmə qaydaları
QaydaDüstur
Hasil(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'
Qismət(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
Zəncir(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Hasil, qismət və mürəkkəb funksiya üçün əsas qaydalar.

✎Mürəkkəb funksiyanın törəməsi: f(x)=(x2+1)3f(x) = (x^2 + 1)^3
  1. 1Xarici funksiya: Üst qaydası ilə xarici hissə: 3(x2+1)23(x^2+1)^2.
  2. 2Daxili törəmə: Daxili funksiyanın törəməsi: (x2+1)′=2x(x^2+1)' = 2x.
  3. 3Zəncir qaydası: İki nəticəni vururuq: 3(x2+1)2⋅2x3(x^2+1)^2 \cdot 2x.
  4. 4Cavab: f′(x)=6x(x2+1)2f'(x) = 6x(x^2+1)^2.
✎Toxunan xətt: f(x)=x2f(x) = x^2, x0=1x_0 = 1
  1. 1Törəmə: f′(x)=2xf'(x) = 2x, deməli f′(1)=2f'(1) = 2 — bu toxunanın bucaq əmsalıdır.
  2. 2Nöqtə: Toxunma nöqtəsi: f(1)=12=1f(1) = 1^2 = 1, yəni (1;1)(1; 1).
  3. 3Tənlik: Toxunan: y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)=1+2(x−1)y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = 1 + 2(x-1).
  4. 4Cavab: y=2x−1y = 2x - 1.
🚫Tez-tez səhv

(xn)′(x^n)'-də üst əmsala keçir VƏ üst 11 azalır. f(x)=x7f(x)=x^7 üçün cavab 7x67x^6-dır, 7x77x^7 deyil — üst 77 qalmamalıdır.

⚠️Diqqət

Mürəkkəb funksiyada daxili törəməni unutmayın: e3xe^{3x} üçün (3x)′=3(3x)'=3 vurulur, cavab 3e3x3e^{3x}-dir, e3xe^{3x} deyil.

⚠️Diqqət

Lokal maksimum/minimum NÖQTƏSİ (absis xx) ilə lokal maksimum/minimum QİYMƏTİ (f(x)f(x)) qarışıq salınmasın — sual hansını istəyir, ona diqqət edin.

💡Qeyd

Toxunan xəttin tənliyi: y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0); bucaq əmsalı f′(x0)f'(x_0), nöqtə (x0;f(x0))(x_0; f(x_0)).

💡Qeyd

Parçada ən böyük/ən kiçik qiyməti tapmaq üçün kritik nöqtələrdə VƏ parçanın uclarında ff-i hesablayıb müqayisə edin.

Qaydalar

  1. 1(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}, (c)′=0(c)' = 0, (x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
  2. 2(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x, (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x, (ex)′=ex(e^x)' = e^x, (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}.
  3. 3Hasil: (u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'; Qismət: (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
  4. 4Zəncir qaydası: (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x).
  5. 5f′(x)>0f'(x) > 0 → artır, f′(x)<0f'(x) < 0 → azalır; f′(x0)=0f'(x_0) = 0 ekstremum namizədidir.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq