eg1-3.4· Fəsil 3: Funksiyalar və analiz· ~14 dəq

Kombinatorika və ehtimalın əsasları

Vurma və toplama qaydaları, yerdəyişmə, kombinasiya, gerləşdirmə və klassik ehtimal.

Kombinatorika seçim və düzülüşlərin sayını hesablayır. Vurma qaydası: ardıcıl mərhələlər müstəqildirsə, ümumi say mərhələ saylarının hasilidir; toplama qaydası: bir-birini istisna edən hallarda saylar toplanır.

nn elementin yerdəyişməsi (permutasiyası) Pn=n!P_n = n!; nn-dən kk seçib düzmə (yerləşdirmə) Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}; sırasız seçim (kombinasiya) Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}. Klassik ehtimal bərabər mümkün nəticələrdə əlverişli halların ümumi hallara nisbətidir: P(A)=mnP(A) = \frac{m}{n}, 0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1. Əks hadisə: P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).

📌Nümunə

Misal: 55 nəfərdən 22 nəfərlik komitə neçə cür seçilir? Sıra önəmli olmadığından C52=5!2!⋅3!=10C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10.

Əsas terminlər

Vurma qaydası — Ardıcıl müstəqil mərhələlərdə ümumi say mərhələ saylarının hasilinə bərabərdir (məsələn 3⋅4=123 \cdot 4 = 12).
Toplama qaydası — Bir-birini istisna edən hallarda saylar toplanır.
Yerdəyişmə (permutasiya) — nn elementin sıralı bütün düzülüşü: Pn=n!P_n = n!.
Yerləşdirmə — nn-dən kk-nı seçib sıra ilə düzmə (sıra önəmli): Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}.
Kombinasiya — nn-dən kk-nın sırasız seçimi: Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
Klassik ehtimal — Bərabər mümkün nəticələrdə əlverişli halların ümumiyə nisbəti: P(A)=mnP(A) = \frac{m}{n}, 0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1.
Kombinatorika düsturları
AnlayışDüsturSıra
YerdəyişməPn=n!P_n = n!önəmli
YerləşdirməAnk=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}önəmli
KombinasiyaCnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}önəmsiz

Ank=Cnk⋅k!A_n^k = C_n^k \cdot k! münasibəti bütün uyğun nn üçün doğrudur.

Faktorial və xüsusi hallar
İfadəQiymət
0!0!11
5!5!120120
6!6!720720
Cn0C_n^011
CnnC_n^n11

C70=1C_7^0 = 1 və C88=1C_8^8 = 1, çünki 0!=10! = 1.

✎Eyni anda 2 ağ şar çəkmə ehtimalı
  1. 1Şərt: Torbada 33 ağ, 55 qara şar var (88 şar). Eyni anda 22 şar çəkilir, hər ikisinin ağ olması istənir.
  2. 2Ümumi hallar: Sırasız seçim olduğundan n=C82=8⋅72=28n = C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28.
  3. 3Əlverişli hallar: İki ağı 33 ağdan seçmək: m=C32=3m = C_3^2 = 3.
  4. 4Ehtimal: P=C32C82=328P = \frac{C_3^2}{C_8^2} = \frac{3}{28}.
✎BANAN sözünün düzülüşləri (təkrarlı hərflər)
  1. 1Şərt: B, A, N, A, N hərfləri: 55 hərf, lakin A iki dəfə, N iki dəfə təkrarlanır.
  2. 2Bütün düzülüş: Hərflər müxtəlif olsaydı: 5!=1205! = 120.
  3. 3Təkrarlara bölmə: Hər təkrar dəstinin daxili sırası fərqi yaratmır, ona görə 2!2! (A üçün) və 2!2! (N üçün) bölünür.
  4. 4Cavab: 5!2!⋅2!=1204=30\frac{5!}{2! \cdot 2!} = \frac{120}{4} = 30 müxtəlif düzülüş.
🚫Tez-tez səhv

Geri qoymadan ardıcıl çəkmədə ikinci ehtimalı dəyişmir saymaq səhvdir: 925\frac{9}{25} deyil, hər iki qaranın düzgün ehtimalı 310\frac{3}{10}-dur.

⚠️Diqqət

Sıra önəmlidirsə yerləşdirmə (AnkA_n^k), önəmsizdirsə kombinasiya (CnkC_n^k) götürün: C52=10C_5^2 = 10, lakin A52=20A_5^2 = 20.

⚠️Diqqət

Müstəqil ardıcıl seçimlər VURULUR, istisna hallar TOPLANIR: dəst sayı 3+4=73 + 4 = 7 deyil, 3⋅4=123 \cdot 4 = 12-dir.

💡Qeyd

«Heç olmasa biri» tipli məsələdə əks hadisədən gedin: P=1−P(Aˉ)P = 1 - P(\bar{A}), məsələn 1−25=351 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}.

💡Qeyd

0!=10! = 1 tərifini unutmayın; buna görə Cn0=1C_n^0 = 1 və Cnn=1C_n^n = 1.

Qaydalar

  1. 1Vurma qaydası: ardıcıl müstəqil mərhələlərdə saylar VURULUR; toplama qaydası: istisna hallarda TOPLANIR.
  2. 2Yerdəyişmə (sıra önəmli, hamısı): Pn=n!P_n = n!.
  3. 3Yerləşdirmə (sıra önəmli, kk seçim): Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}.
  4. 4Kombinasiya (sıra önəmsiz): Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
  5. 5Klassik ehtimal: P(A)=mnP(A) = \frac{m}{n}, 0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1, P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq