eg1-3.2· Fəsil 3: Funksiyalar və analiz· ~14 dəq

Ədədi və həndəsi silsilələr

Ədədi və həndəsi silsilələrin həddləri, cəmləri və tətbiqi məsələləri.

Ədədi silsilədə hər hədd əvvəlkindən sabit $d$ fərqi qədər artır: $a_n = a_1 + (n-1)d$ , ilk $n$ həddin cəmi $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ . Həndəsi silsilədə hər hədd əvvəlkinə sabit $q$ vurularaq alınır: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ , cəm isə $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ .

$|q| < 1$ olan sonsuz azalan həndəsi silsilənin cəmi $S = \frac{b_1}{1 - q}$ düsturu ilə tapılır.

📌Nümunə

Məsələn, $a_1 = 2$ , $d = 3$ olan ədədi silsilədə $a_5 = 2 + 4 \cdot 3 = 14$ və $S_5 = \frac{(2 + 14) \cdot 5}{2} = 40$ .

Əsas terminlər

Ədədi silsilə — Hər həddi əvvəlkindən sabit

d

fərqi qədər fərqlənən silsilə:

a_n = a_1 + (n-1)d

Fərq

d

— Ədədi silsilədə qonşu həddlərin fərqi:

d = a_{n+1} - a_n

(sabitdir).

Həndəsi silsilə — Hər həddi əvvəlkinə sabit

q

vurularaq alınan silsilə:

b_n = b_1 \cdot q^{n-1}

Məxrəc

q

— Həndəsi silsilədə qonşu həddlərin nisbəti:

q = \frac{b_{n+1}}{b_n}

(sabitdir).

Ədədi orta — Silsilədə hər hədd qonşularının ortasıdır:

a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}

Həndəsi orta — Həndəsi silsilədə

b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}

; müsbət orta

b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}

Sonsuz azalan silsilə —

|q| < 1

olan həndəsi silsilə; bütün həddlərin cəmi sonludur:

S = \frac{b_1}{1 - q}

Əsas düsturlar

Silsilə	Ümumi hədd	İlk $n$ həddin cəmi
Ədədi	$a_n = a_1 + (n-1)d$	$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$
Ədədi (alternativ)	$a_n = a_1 + (n-1)d$	$S_n = \frac{(2a_1 + (n-1)d) \cdot n}{2}$
Həndəsi	$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$	$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
Sonsuz azalan ( $\|q\|<1$ )	$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$	$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Ədədi və həndəsi silsilələrin hədd və cəm düsturları.

Orta hədd və simmetriya xassələri

Xassə	Düstur
Ədədi orta	$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$
Simmetrik cəm (ədədi)	$a_3 + a_7 = 2a_5$
Həndəsi orta	$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$
Üç ardıcıl hədd (həndəsi)	$b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = b_2^3$

Bərabər məsafəli həddlərin orta hədd vasitəsilə əlaqəsi.

✎Ədədi silsilədə cəm:

a_5 = 20

a_{10} = 35

olduqda

S_{10}

1Fərqi tap: $a_{10} - a_5 = 5d \Rightarrow 35 - 20 = 5d$ , deməli $d = 3$ .
2İlk həddi tap: $a_5 = a_1 + 4d \Rightarrow 20 = a_1 + 12$ , deməli $a_1 = 8$ .
3 $a_{10}$ -u yoxla: $a_{10} = 8 + 9 \cdot 3 = 35$ — uyğundur.
4Cəmi hesabla: $S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2} = \frac{(8 + 35) \cdot 10}{2} = \frac{430}{2}$ .
5Cavab: $S_{10} = 215$ .

✎Dövri kəsr → adi kəsr:

0,(4)

1Silsilə kimi yaz: $0,(4) = 0,4 + 0,04 + 0,004 + \ldots$ — sonsuz azalan həndəsi silsilədir.
2Parametrləri seç: İlk hədd $b_1 = 0,4 = \frac{4}{10}$ , məxrəc $q = \frac{1}{10}$ (çünki $|q| < 1$ ).
3Cəm düsturunu tətbiq et: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\frac{4}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{4}{10}}{\frac{9}{10}}$ .
4Sadələşdir: $S = \frac{4}{10} \cdot \frac{10}{9} = \frac{4}{9}$ .
5Cavab: $0,(4) = \frac{4}{9}$ .

🚫Tez-tez səhv

$a_n = a_1 + (n-1)d$ düsturunda $(n-1)$ deyil $n$ vurmaq tipik səhvdir. $a_6$ üçün $5d$ əlavə olunur, $6d$ deyil; məsələn $a_1 = 8$ , $d = -3$ -də $a_6 = 8 + 5 \cdot (-3) = -7$ .

⚠️Diqqət

Ədədi orta $\frac{a + b}{2}$ , həndəsi orta isə $\sqrt{a \cdot b}$ -dir — qarışdırma. Məsələn $2$ və $8$ üçün ədədi orta $5$ , müsbət həndəsi orta isə $\sqrt{16} = 4$ -dür.

⚠️Diqqət

Sonsuz cəm düsturu $S = \frac{b_1}{1 - q}$ yalnız $|q| < 1$ olduqda işləyir. Məxrəcdə $1 - q$ var ( $1 + q$ deyil): $b_1 = 6$ , $q = \frac{1}{4}$ üçün $S = \frac{6}{\frac{3}{4}} = 8$ .

💡Qeyd

Bərabər məsafəli həddlərin cəmi ortancı hədin iki mislidir: $a_3 + a_7 = 2a_5$ . Buna görə $a_3 + a_5 + a_7 = 3a_5$ , deməli $S_9 = 9a_5$ kimi qısa yol mümkündür.

💡Qeyd

Həndəsi silsilədə $b_5 = b_2 \cdot q^3$ kimi indeks fərqindən birbaşa məxrəc tapılır: $b_2 = 6$ , $b_5 = 48$ üçün $q^3 = 8 \Rightarrow q = 2$ .

Qaydalar

1Ədədi: $a_n = a_1 + (n-1)d$ ; $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{(2a_1 + (n-1)d) \cdot n}{2}$ .
2Ədədi orta: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ .
3Həndəsi: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ ; $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ , $q \neq 1$ .
4Həndəsi orta: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ .
5Sonsuz azalan həndəsi silsilə ( $|q| < 1$ ): $S = \frac{b_1}{1 - q}$ .

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq