eg1-3.1· Fəsil 3: Funksiyalar və analiz· ~14 dəq

Funksiyalar və qrafiklər

Təyin oblastı, cüt/tək funksiyalar, sıfırlar, parabola və qrafik çevrilmələri.

Funksiyanın təyin oblastı arqumentin (xx) bütün mümkün qiymətləri çoxluğudur; məsələn y=x−2y = \sqrt{x - 2} üçün x−2≥0x - 2 \ge 0, yəni təyin oblastı [2;+∞)[2; +\infty). Funksiya cütdürsə f(−x)=f(x)f(-x) = f(x), təkdirsə f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x).

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c parabolasının təpəsinin absisi x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}, simmetriya oxu isə x=x0x = x_0 düz xəttidir. Qrafik çevrilmələrində y=f(x−a)+by = f(x - a) + b qrafiki f(x)f(x)-in aa vahid sağa, bb vahid yuxarı sürüşməsidir.

📌Nümunə

Məsələn, y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 üçün x0=−−42⋅1=2x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2, y0=4−8+3=−1y_0 = 4 - 8 + 3 = -1, təpə (2;−1)(2; -1).

Qrafiklər

y = x² (parabola), y = 2x − 1 (düz xətt) və y = |x| funksiyalarının qrafikləri
y = x² (parabola), y = 2x − 1 (düz xətt) və y = |x| funksiyalarının qrafikləri

Əsas terminlər

Təyin oblastı — Arqumentin (xx) bütün mümkün qiymətləri çoxluğu: məxrəc ≠0\neq 0, kök altı ≥0\ge 0, loqarifmin arqumenti >0> 0.
Cüt funksiya — f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) olan funksiya; qrafiki OyOy oxuna simmetrikdir.
Tək funksiya — f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) olan funksiya; qrafiki koordinat başlanğıcına simmetrikdir.
Funksiyanın sıfırları — f(x)=0f(x) = 0 tənliyinin kökləri, yəni qrafikin OxOx oxu ilə kəsişmə absisləri.
Parabolanın təpəsi — y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c üçün absisi x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}, ordinatı y0=f(x0)y_0 = f(x_0) olan nöqtə.
Tərs funksiya — y=f(x)y = f(x)-də xx və yy-i yer dəyişib yy-i təcrid etməklə alınan funksiya.
Təyin oblastının şərtləri
İfadəŞərtNümunə
1x−a\frac{1}{x-a}x−a≠0x - a \neq 01x−3\frac{1}{x-3}: x≠3x \neq 3
g(x)\sqrt{g(x)}g(x)≥0g(x) \ge 0x−5\sqrt{x-5}: x≥5x \ge 5
log⁡(g(x))\log(g(x))g(x)>0g(x) > 0lg⁡(x2−4)\lg(x^2-4): x2−4>0x^2 - 4 > 0

Mürəkkəb ifadədə bütün şərtlər eyni anda ödənməlidir (kəsişmə alınır).

Parabola y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c
XassəDüstur / qayda
Təpə absisix0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}
Simmetriya oxux=x0x = x_0
Budaqlara>0a > 0 yuxarı, a<0a < 0 aşağı
Köklərin cəmix1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
Köklərin hasilix1⋅x2=cax_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

a>0a > 0 üçün y0y_0 minimum, a<0a < 0 üçün maksimumdur.

✎Parabolanın ən böyük qiyməti: y=−x2+8x−7y = -x^2 + 8x - 7
  1. 1Təpə absisi: x0=−b2a=−82⋅(−1)=4x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = 4.
  2. 2Təpə ordinatı: y0=−(4)2+8⋅4−7=−16+32−7=9y_0 = -(4)^2 + 8 \cdot 4 - 7 = -16 + 32 - 7 = 9.
  3. 3Nəticə: a<0a < 0 olduğundan təpə maksimumdur: ən böyük qiymət 99-dur.
✎Mürəkkəb təyin oblastı: y=x+4x−2y = \frac{\sqrt{x+4}}{x-2}
  1. 1Kök altı şərti: x+4≥0x + 4 \ge 0, yəni x≥−4x \ge -4.
  2. 2Məxrəc şərti: x−2≠0x - 2 \neq 0, yəni x≠2x \neq 2.
  3. 3Şərtləri birləşdir: x≥−4x \ge -4 və x≠2x \neq 2 eyni anda: [−4;2)∪(2;+∞)[-4; 2) \cup (2; +\infty).
  4. 4Nəticə: Təyin oblastı [−4;2)∪(2;+∞)[-4; 2) \cup (2; +\infty).
🚫Tez-tez səhv

f(x)=−x2+5f(x) = -x^2 + 5-də f(2)f(2) üçün əvvəl kvadrat: −(22)+5=−4+5=1-(2^2) + 5 = -4 + 5 = 1. Mənfi işarəni unudub 99 yazmaq və ya (−2+5)=3(-2+5)=3 kimi hesablamaq səhvdir.

⚠️Diqqət

8−2x≥0\sqrt{8 - 2x} \ge 0 tipli mənfi əmsallı bərabərsizlikdə −2x≥−8-2x \ge -8 bölərkən işarə tərsinə çevrilir: x≤4x \le 4.

⚠️Diqqət

Kök altı ≥0\ge 0 (sərhəd daxil, kvadrat mötərizə), loqarifmin arqumenti isə ciddi >0> 0 (sərhəd daxil deyil, dairəvi mötərizə).

💡Qeyd

Təpə absisi düsturunda işarəni saxlayın: x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}. y=x2+6x+2y = x^2 + 6x + 2 üçün x0=−62=−3x_0 = -\frac{6}{2} = -3, +3+3 deyil.

💡Qeyd

Tək funksiyada f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x), ona görə f(0)=0f(0) = 0; cüt funksiyada f(−x)=f(x)f(-x) = f(x), yəni f(2)=f(−2)f(2) = f(-2).

Qaydalar

  1. 1Təyin oblastı: məxrəc ≠0\neq 0, kvadrat kök altı ≥0\ge 0, loqarifmin arqumenti >0> 0.
  2. 2Cüt funksiya: f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) (qrafik OyOy oxuna simmetrik); tək funksiya: f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) (başlanğıca simmetrik).
  3. 3Funksiyanın sıfırları f(x)=0f(x) = 0 tənliyinin kökləridir (qrafikin OxOx oxu ilə kəsişmə absisləri).
  4. 4Parabola y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c: təpə absisi x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}, simmetriya oxu x=x0x = x_0; a>0a > 0 üçün budaqlar yuxarı, a<0a < 0 üçün aşağı.
  5. 5Çevrilmələr: y=f(x−a)y = f(x - a) — aa vahid sağa, y=f(x)+by = f(x) + b — bb vahid yuxarı, y=−f(x)y = -f(x) — OxOx oxuna, y=f(−x)y = f(-x) — OyOy oxuna simmetriya.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq