eg1-2.6· Fəsil 2: Tənliklər və bərabərsizliklər· ~13 dəq

Modul (mütləq qiymət) tənlik və bərabərsizlikləri

Mütləq qiymətin tərifi, $|x| = a$ tənlikləri və $|x| < a$ , $|x| > a$ tipli bərabərsizliklər.

Ədədin mütləq qiyməti onun ədəd oxunda sıfırdan uzaqlığıdır: $|x| = x$ ( $x \ge 0$ ), $|x| = -x$ ( $x < 0$ ); ona görə $|x| \ge 0$ həmişə doğrudur. $|x| = a$ tənliyi $a > 0$ olduqda $x = a$ və $x = -a$ iki həll verir, $a = 0$ olduqda yeganə $x = 0$ , $a < 0$ olduqda isə həlli yoxdur.

Bərabərsizliklərdə iki əsas hal var: $|x| < a$ ( $a > 0$ ) $\Leftrightarrow -a < x < a$ , yəni daxili interval; $|x| > a$ ( $a > 0$ ) $\Leftrightarrow x < -a$ və ya $x > a$ , yəni xarici iki şüa. Ümumi halda $|f(x)| = g(x)$ və ya hallara ayırma üsulundan istifadə olunur.

📌Nümunə

Misal: $|2x - 6| < 4$ bərabərsizliyi $-4 < 2x - 6 < 4$ , yəni $2 < 2x < 10$ , deməli $1 < x < 5$ verir.

Əsas terminlər

Mütləq qiymət — Ədədin ədəd oxunda sıfırdan uzaqlığı:

|x| = x

(

x \ge 0

|x| = -x

(

x < 0

). Həmişə

|x| \ge 0

|x| = a

tənliyi —

a > 0

olduqda

x = \pm a

iki həll;

a = 0

olduqda yeganə

x = 0

;

a < 0

olduqda həlli yoxdur.

Daxili interval (

|x| < a

) —

a > 0

üçün

|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a

— tək bir aralıq.

Xarici iki şüa (

|x| > a

) —

a > 0

üçün

|x| > a \Leftrightarrow x < -a

və ya

x > a

— ayrılmış iki hissə.

Kənar kök —

|f(x)| = g(x)

tipli tənlikdə sağ tərəf

g(x) < 0

alındığından yoxlamadan keçməyən, atılmalı olan həll.

Hasil və qisim qaydası —

|a \cdot b| = |a| \cdot |b|

və

\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}

(

b \neq 0

Modul tənlik və bərabərsizliklərinin əsas qaydaları

Tip	$a > 0$ şərti ilə həll	Hal
$\|x\| = a$	$x = a$ və ya $x = -a$	iki həll
$\|x\| = 0$	$x = 0$	tək həll
$\|x\| = a$ ( $a < 0$ )	həlli yoxdur	boş çoxluq
$\|x\| < a$	$-a < x < a$	daxili interval
$\|x\| > a$	$x < -a$ və ya $x > a$	xarici iki şüa

Qeyri-ciddi bərabərsizliklərdə ( $\le$ , $\ge$ ) uclar həllə daxil olur.

Modulun açılması: işarəyə görə hallar

Şərt	$\|x\|$ açılışı	Nümunə
$x \ge 0$	$\|x\| = x$	$\|7\| = 7$
$x < 0$	$\|x\| = -x$	$\|-7\| = -(-7) = 7$
$x = 0$	$\|x\| = 0$	$\|0\| = 0$

Modul yalnız işarəni atır, ədədi iki dəfə artırmır.

✎

|2x-6| < 4

bərabərsizliyinin həlli

1Daxili interval qaydası: $|2x-6| < 4 \Leftrightarrow -4 < 2x-6 < 4$ .
2Hər tərəfə $6$ əlavə et: $2 < 2x < 10$ .
3Hər tərəfi $2$ -yə böl: $1 < x < 5$ .
4Cavab: $1 < x < 5$ . ( $2$ -yə bölmə addımını unutsan səhvən $2 < x < 10$ alarsan.)

✎

|2x-1| = x+4

tənliyinin həlli

1İki hala ayır: $2x-1 = x+4$ və ya $2x-1 = -(x+4)$ .
2Birinci hal: $2x-1 = x+4 \Rightarrow x = 5$ .
3İkinci hal: $2x-1 = -x-4 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1$ .
4Yoxla: $x = 5$ : $|9| = 9 = 5+4$ doğru. $x = -1$ : $|-3| = 3 = -1+4$ doğru.
5Cavab: $x = 5$ və $x = -1$ .

🚫Tez-tez səhv

$|{-7}| = 7$ , $14$ deyil: modul ədədi iki dəfə artırmır, yalnız işarəni atır.

⚠️Diqqət

$|x| = a$ -da $a < 0$ olduqda həll YOXDUR ( $|x|$ heç vaxt mənfi ola bilməz). $|x| < -2$ də boş çoxluqdur.

⚠️Diqqət

$|ax+b| = a$ tənliyini həll edərkən daxili sürüşmə və əmsala bölməni unutma: əvvəlcə $ax+b = \pm a$ , sonra $x$ -i tap.

💡Qeyd

$|x| < a$ → daxili interval ( $-a < x < a$ ); $|x| > a$ → xarici iki şüa. İşarəni qarışdırma.

🚫Tez-tez səhv

$|f(x)| = g(x)$ tipində hər kökü yoxla: sağ tərəf $g(x) < 0$ alınan kök kənar kökdür və atılır.

Qaydalar

1 $|x| \ge 0$ həmişə; $|x| = x$ ( $x \ge 0$ ), $|x| = -x$ ( $x < 0$ ).
2 $|x| = a$ : $a > 0 \Rightarrow x = \pm a$ ; $a = 0 \Rightarrow x = 0$ ; $a < 0 \Rightarrow$ həll yoxdur.
3 $|x| < a$ ( $a > 0$ ) $\Leftrightarrow -a < x < a$ (daxili interval).
4 $|x| > a$ ( $a > 0$ ) $\Leftrightarrow x < -a$ və ya $x > a$ (xarici iki şüa).
5 $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ , $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ ( $b \neq 0$ ).

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq