eg1-2.4· Fəsil 2: Tənliklər və bərabərsizliklər· ~14 dəq

Bərabərsizliklər və interval üsulu

Xətti, kvadrat və kəsr-rasional bərabərsizliklər, interval üsulu və həll çoxluğunun yazılışı.

Bərabərsizliyi həll etmək üçün onu bir tərəfə yığır, ifadəni vuruqlara ayırır və ifadənin sıfra çevrildiyi nöqtələri (kökləri) ədəd oxunda işarələyirik. Bu köklər oxu intervallara bölür; hər intervaldan bir nöqtə götürüb ifadənin işarəsini yoxlayırıq.

Kəsr-rasional bərabərsizlikdə məxrəcin sıfrı həmişə çıxarılır, yəni o nöqtə açıq olur.

📌Nümunə

Məsələn, $(x-1)(x-3) > 0$ üçün köklər $1$ və $3$ -dür: $x = 0$ -da $(+)$ , $x = 2$ -də $(-)$ , $x = 4$ -də $(+)$ olur, deməli həll $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$ .

Əsas terminlər

İnterval üsulu — İfadəni bir tərəfə yığıb vuruqlara ayırır, sıfra çevrildiyi kökləri oxda işarələyir və hər intervalda işarəni yoxlayırıq.

Kök (sıfır nöqtəsi) — İfadənin sıfra çevrildiyi

x

qiymətləri; bu nöqtələr ədəd oxunu intervallara bölür.

Bərk bərabərsizlik —

<

və ya

>

işarəli bərabərsizlik; köklər həll çoxluğuna daxil deyil, açıq (dairə) qoyulur.

Qeyri-bərk bərabərsizlik —

\le

və ya

\ge

işarəli bərabərsizlik; köklər həll çoxluğuna daxildir, qapalı götürülür.

Məxrəc sıfrı — Kəsr-rasional bərabərsizlikdə məxrəci sıfra çevirən nöqtə; təyin oblastından çıxır, ona görə həmişə açıq olur.

Modullu bərabərsizlik —

|x| < a \Rightarrow -a < x < a

;

|x| > a \Rightarrow x < -a

və ya

x > a

(

a > 0

Əsas bərabərsizlik qaydaları

Hal	Qayda	Nümunə
Mənfi ədədə vurma/bölmə	İşarə əksinə dönür	$-3x \ge 12 \Rightarrow x \le -4$
Bərk ( $<$ , $>$ )	Köklər açıq	$2x - 6 > 0 \Rightarrow x \in (3; +\infty)$
Qeyri-bərk ( $\le$ , $\ge$ )	Köklər qapalı	$x^2 - 9 \le 0 \Rightarrow x \in [-3; 3]$
Kəsrin məxrəc sıfrı	Həmişə açıq nöqtə	$\frac{x + 3}{x - 1} > 0$ -da $x = 1$ açıq

Bərabərsizliyin işarəsi və hədlərin açıq/qapalı olması.

Modullu bərabərsizliyin açılışı

Şərt	Açılış	Həll çoxluğu
$\|x\| < a$	$-a < x < a$	$x \in (-a; a)$
$\|x\| \le a$	$-a \le x \le a$	$x \in [-a; a]$
$\|x\| > a$	$x < -a$ və ya $x > a$	$x \in (-\infty; -a) \cup (a; +\infty)$
$\|x\| \ge a$	$x \le -a$ və ya $x \ge a$	$x \in (-\infty; -a] \cup [a; +\infty)$

$a > 0$ olduqda modulun aralıq və ya iki şüaya açılması.

✎

2x^2 + 5x - 3 \le 0

kvadrat bərabərsizliyi

1Kökləri tap: $2x^2 + 5x - 3 = 0$ ; vuruqlara: $(2x - 1)(x + 3) = 0$ , köklər $x = \frac{1}{2}$ və $x = -3$ .
2Oxda işarələ: Köklər oxu üç intervala bölür: $(-\infty; -3)$ , $(-3; \tfrac{1}{2})$ , $(\tfrac{1}{2}; +\infty)$ .
3İşarələri yoxla: $x = -4$ -də $(+)$ , $x = 0$ -da $(-)$ , $x = 1$ -də $(+)$ ; bizə $\le 0$ , yəni $(-)$ nahiyəsi lazımdır.
4Hədləri seç: Qeyri-bərkdir ( $\le$ ), köklər qapalı: $x \in [-3; \frac{1}{2}]$ .

✎

\frac{x - 1}{x + 2} \ge 1

kəsr-rasional bərabərsizliyi

1Bir tərəfə yığ: $\frac{x - 1}{x + 2} - 1 \ge 0 \Rightarrow \frac{(x - 1) - (x + 2)}{x + 2} \ge 0$ .
2Sadələşdir: Surət: $(x - 1) - (x + 2) = -3$ , deməli $\frac{-3}{x + 2} \ge 0$ .
3İşarəni təhlil et: Surət sabit mənfidir ( $-3$ ), ona görə kəsr yalnız məxrəc mənfi olduqda $\ge 0$ olur: $x + 2 < 0$ .
4Nəticə: $x < -2$ ; məxrəc sıfrı $-2$ açıqdır, deməli $x \in (-\infty; -2)$ .

⚠️Diqqət

Mənfi əmsala vurub-böləndə bərabərsizlik işarəsini dönməyi unutma: $-3x \ge 12$ -dən $x \le -4$ alınır, $x \ge -4$ deyil.

🚫Tez-tez səhv

$4x + 5 \le 17$ tipli məsələdə əvvəlcə $5$ -i köçür ( $4x \le 12$ ), sonra böl ( $x \le 3$ ). Köçürmədən $17$ -yə bölmək səhv $11$ həddi verir.

🚫Tez-tez səhv

$|x| \le 7$ -də sol həddi $0$ deyil, $-7$ götür: modul mənfi qiymətləri də əhatə edir, cavab $[-7; 7]$ -dir.

💡Qeyd

$(x + 1)^2(x - 2)$ tipində cüt qüvvətli ( $^2$ ) kök işarəni dəyişmir; o nöqtə yalnız sıfır verir, ətrafdakı interval eyni işarədə qalır.

⚠️Diqqət

Diskriminantı mənfi olan $x^2 + x + 1$ heç sıfır olmadığından həmişə müsbətdir, cavab bütün ədəd oxudur: $x \in (-\infty; +\infty)$ .

Qaydalar

1Mənfi ədədə vurub-böləndə bərabərsizlik işarəsi əksinə dönür
2İnterval üsulu: kökləri oxda işarələ, hər intervalda işarəni yoxla
3Bərk bərabərsizlikdə ( $<$ , $>$ ) köklər açıq, qeyri-bərkdə ( $\le$ , $\ge$ ) qapalıdır
4Kəsrdə məxrəcin sıfrı həmişə açıq nöqtədir (təyin oblastından çıxır)
5 $|x| < a \Rightarrow -a < x < a$ ; $|x| > a \Rightarrow x < -a$ və ya $x > a$ ( $a > 0$ )

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq