eg1-2.3· Fəsil 2: Tənliklər və bərabərsizliklər· ~14 dəq

Üstlü və loqarifmik tənliklər

Loqarifmanın xassələri, üstlü və loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli.

$\log_a b = c$ o deməkdir ki, $a^c = b$ (burada $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$ ). Üstlü tənlikdə eyni bazaya gətirib göstəriciləri bərabərləşdiririk: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x)$ .

Loqarifmik tənlikdə əvvəlcə təyin oblastı (arqument $> 0$ ) yazılır, sonra $\log_a f(x) = \log_a g(x) \Rightarrow f(x) = g(x)$ və yalnız oblastdakı köklər saxlanılır.

📌Nümunə

Misal: $\log_2 (x+1) = 3 \Rightarrow x + 1 = 2^3 = 8 \Rightarrow x = 7$ ( $x + 1 = 8 > 0$ ). Üstlü misal: $2^{x+1} = 8 = 2^3 \Rightarrow x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$ .

Əsas terminlər

Loqarifm —

\log_a b = c

o deməkdir ki,

a^c = b

(

a > 0

a \neq 1

b > 0

). Loqarifm bazanı

b

-yə çevirən üstdür.

Onluq loqarifm (

\lg

) — Bazası

10

olan loqarifm:

\lg x = \log_{10} x

. Məsələn

\lg 100 = 2

Natural loqarifm (

\ln

) — Bazası

e

olan loqarifm:

\ln x = \log_e x

. Buna görə

\ln e = 1

Üstlü tənlik — Naməlumun üstdə durduğu tənlik. Eyni bazaya gətirib üstləri bərabərləşdiririk:

a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x)

Təyin oblastı — Loqarifmik tənlikdə arqument

> 0

şərti. Bu oblastdan kənar köklər (kənar kök) atılır.

Əvəzləmə üsulu —

t = a^x

və ya

t = \log_a x

əvəzləməsi ilə tənliyi kvadrat tənliyə çevirmək; sonra

t

-dən

x

-ə qayıdılır.

Loqarifmanın xassələri

Xassə	Düstur
Tərif	$\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$
Hasil	$\log(xy) = \log x + \log y$
Qisim	$\log\frac{x}{y} = \log x - \log y$
Üst	$\log_a b^n = n \cdot \log_a b$
Baza dəyişdirmə	$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$
Xüsusi hallar	$\log_a a = 1$ , $\log_a 1 = 0$

Burada $a > 0$ , $a \neq 1$ və arqumentlər müsbətdir.

Üstlü və loqarifmik bərabərsizliklər: bazaya görə işarə

Baza	Üstlü	Loqarifmik
$a > 1$	$a^f > a^g \Leftrightarrow f > g$	$\log_a f > \log_a g \Leftrightarrow f > g$
$0 < a < 1$	$a^f > a^g \Leftrightarrow f < g$	$\log_a f > \log_a g \Leftrightarrow f < g$

Baza $1$ -dən kiçik olduqda bərabərsizliyin işarəsi dəyişir; loqarifmada arqument həmişə $> 0$ .

✎

\log_5(x-1) + \log_5(x+3) = 1

tənliyini həll et

1Təyin oblastı: Arqumentlər müsbət olmalı: $x - 1 > 0$ və $x + 3 > 0 \Rightarrow x > 1$ .
2Hasil xassəsi: $\log_5\big((x-1)(x+3)\big) = 1$ .
3Loqarifmadan qurtul: $(x-1)(x+3) = 5^1 = 5$ .
4Kvadrat tənlik: $x^2 + 2x - 3 = 5 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0$ .
5Köklər: $x = 2$ və ya $x = -4$ .
6Oblastı yoxla: $x = -4$ $> 1$ şərtini ödəmir, kənar kökdür. Cavab: $x = 2$ .

✎

4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0

tənliyini həll et

1Eyni bazaya gətir: $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ , deməli $(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$ .
2Əvəzləmə: $t = 2^x$ ( $t > 0$ ) qoysaq: $t^2 - 3t - 4 = 0$ .
3Kvadrat tənliyi həll et: $(t-4)(t+1) = 0 \Rightarrow t = 4$ və ya $t = -1$ .
4Mənfini at: $t = 2^x > 0$ olduğundan $t = -1$ atılır; qalır $t = 4$ .
5 $x$ -ə qayıt: $2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2$ . Cavab: $x = 2$ .

🚫Tez-tez səhv

$\log_4 64$ -də cavabı $2$ vermə: $4^2 = 16$ , $64$ deyil. $4^3 = 64$ olduğundan düzgün üst $3$ -dür.

⚠️Diqqət

Loqarifmik tənlikdə kvadrat tənlikdən gələn hər iki kökü götürmə — təyin oblastını yoxla. Məsələn $\log_2 x + \log_2(x-2) = 3$ -də $x = -2$ kənar kökdür, yalnız $x = 4$ .

⚠️Diqqət

Baza $1$ -dən kiçik olduqda işarə dəyişir: $\log_{1/3} x > -2 \Rightarrow x < \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9$ , lakin $x > 0$ olduğundan həll $0 < x < 9$ .

💡Qeyd

$\log_a a = 1$ və $\log_a 1 = 0$ — qarışdırma. Arqument bazaya bərabərdirsə cavab $1$ , arqument $1$ -dirsə cavab $0$ .

💡Qeyd

$\log_2 24 = \log_2(8 \cdot 3) = \log_2 8 + \log_2 3 = 3 + a$ — vurmanı loqarifmada cəmə çevir, $3a$ kimi yox.

Qaydalar

1 $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$ ( $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$ ).
2 $\log(xy) = \log x + \log y$ , $\log\frac{x}{y} = \log x - \log y$ , $\log_a b^n = n \cdot \log_a b$ .
3Baza dəyişdirmə: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ ; $\log_a a = 1$ , $\log_a 1 = 0$ .
4Loqarifmik tənlikdə arqument $> 0$ şərtini yoxla, kənar kökü at.
5 $a > 1$ olduqda $a^f > a^g \Leftrightarrow f > g$ ; loqarifmada da bazaya görə işarə dəyişir.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq