eg1-2.2· Fəsil 2: Tənliklər və bərabərsizliklər· ~14 dəq

Kəsr-rasional və irrasional tənliklər

Məxrəcin sıfra bərabər olmaması və kvadrata yüksəltmədən sonra kənar köklərin yoxlanması.

Kəsr-rasional tənliklərdə əvvəlcə yolverilməz qiymətləri (məxrəci sıfra çevirən) müəyyən edirik, sonra hər iki tərəfi ümumi məxrəcə vurub kökləri tapırıq və yolverilməz olanları atırıq. İrrasional tənliklərdə kökü təcrid edib hər iki tərəfi kvadrata yüksəldirik; bu əməliyyat kənar kök verə bildiyi üçün hər kökü ilkin tənlikdə yoxlamaq vacibdir.

Beləliklə cavab həmişə ilkin tənliklə təsdiqlənməlidir.

📌Nümunə

Məsələn, $\sqrt{x+2} = x$ tənliyini kvadrata yüksəltsək $x^2 - x - 2 = 0$ , kökləri $x = 2$ və $x = -1$ . Yoxlama: $x = 2$ üçün $\sqrt{4} = 2$ doğru, $x = -1$ üçün $\sqrt{1} = 1 \neq -1$ yanlış, deməli yalnız $x = 2$ .

Əsas terminlər

Kəsr-rasional tənlik — Naməlumun məxrəcdə iştirak etdiyi tənlik, məsələn

\frac{6}{x} = 2

; məxrəci sıfra çevirən qiymətlər yolverilməzdir.

İrrasional tənlik — Naməlumun kök işarəsi

\sqrt{\;}

altında olduğu tənlik, məsələn

\sqrt{x+2} = x

Yolverilməz qiymət — Məxrəci sıfra çevirən və buna görə kök ola bilməyən qiymət;

\frac{5}{x-7}

üçün

x = 7

yolverilməzdir.

Kənar kök — Kvadrata yüksəltmədən sonra yaranan, lakin ilkin tənliyi ödəməyən saxta kök; yoxlama ilə atılır.

Kökün təcrid edilməsi — Kvadrata yüksəltmədən əvvəl

\sqrt{\;}

ifadəsini tənliyin bir tərəfində tək saxlamaq.

Əvəzləmə üsulu —

t = \sqrt{x}

qoyaraq irrasional tənliyi kvadrat tənliyə çevirmək;

t \ge 0

şərti qorunur.

Həll addımları: tənlik növünə görə

Növ	İlk addım	Əsas əməliyyat	Sonuncu addım
Kəsr-rasional	Yolverilməz qiyməti tap	Ümumi məxrəcə vur	Yolverilməz kökü at
İrrasional	Kökü təcrid et	Hər iki tərəfi kvadrata yüksəlt	Hər kökü ilkin tənlikdə yoxla
Əvəzləməli ( $t=\sqrt{x}$ )	$t = \sqrt{x} \ge 0$ qoy	Kvadrat tənliyi həll et	$x = t^2$ tap, $t<0$ at

Hər iki növdə son addım — köklərin yoxlanması və ya atılması.

Yoxlama şərtləri

Şərt	Qayda	Nümunə
Kök altı ifadə	$\sqrt{f(x)}$ üçün $f(x) \ge 0$	$\sqrt{x-3}$ üçün $x \ge 3$
Sağ tərəfin işarəsi	$\sqrt{\dots} = a$ yalnız $a \ge 0$	$\sqrt{x} = -2$ kök yoxdur
Məxrəc	Məxrəc $\neq 0$	$\frac{8}{x-2}$ üçün $x \neq 2$

Bu şərtlərdən biri pozulan qiymət kök ola bilməz.

✎İrrasional tənlik və kənar kökün yoxlanması:

\sqrt{2x+7} = x+2

1Kvadrata yüksəlt: Hər iki tərəfi kvadrata yüksəldirik: $2x + 7 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$ .
2Kvadrat tənliyə gətir: $x^2 + 4x + 4 - 2x - 7 = 0$ , yəni $x^2 + 2x - 3 = 0$ .
3Kökləri tap: Vuruqlara ayırma: $(x+3)(x-1) = 0$ , deməli $x = -3$ və $x = 1$ .
4Yoxla: $x = -3$ üçün sağ tərəf $x + 2 = -1 < 0$ , $\sqrt{\;}$ qeyri-mənfi olduğundan bu kənar kökdür. $x = 1$ üçün $\sqrt{9} = 3 = 1 + 2$ doğru.
5Cavab: Yalnız $x = 1$ keçərlidir.

✎İki kökün cəmi:

\sqrt{x+9} - \sqrt{x} = 1

1Kökü təcrid et: Bir kökü tək tərəfə keçiririk: $\sqrt{x+9} = 1 + \sqrt{x}$ .
2Kvadrata yüksəlt: $x + 9 = (1 + \sqrt{x})^2 = 1 + 2\sqrt{x} + x$ .
3Sadələşdir: $x$ -lər ixtisar olur: $9 - 1 = 2\sqrt{x}$ , yəni $8 = 2\sqrt{x}$ , $\sqrt{x} = 4$ .
4Tap və yoxla: $x = 4^2 = 16$ . Yoxlama: $\sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1$ doğru.
5Cavab: $x = 16$ .

🚫Tez-tez səhv

$\sqrt{x-1} = 6$ tənliyində $x - 1 = 6$ yazmaq səhvdir; əvvəlcə kvadrata yüksəltmək lazımdır: $x - 1 = 36$ , $x = 37$ .

⚠️Diqqət

Kvadrata yüksəltmə kənar kök yarada bilər; tapılan HƏR kökü mütləq ilkin tənlikdə yoxlayın.

⚠️Diqqət

$\sqrt{\dots} = a$ tənliyi yalnız $a \ge 0$ olduqda mümkündür; sağ tərəf mənfi olan kök (məsələn $x = -3$ üçün $x+2 = -1$ ) atılır.

🚫Tez-tez səhv

Əvəzləmədə $t = \sqrt{x}$ -i cavab kimi yazmayın: tapılan $t$ -ni yenidən kvadrata yüksəldin, $x = t^2$ (məsələn $t = 5 \Rightarrow x = 25$ ).

💡Qeyd

Kəsr-rasional tənlikdə işə başlamazdan əvvəl məxrəci sıfra çevirən qiyməti yazın — alınan kök ona bərabərsə, kök yoxdur.

Qaydalar

1Kəsr-rasional tənlikdə məxrəci sıfra çevirən qiymətlər yolverilməzdir və kök ola bilməz.
2İrrasional tənlikdə $\sqrt{\;}$ altındakı ifadə $\ge 0$ olmalıdır.
3Kvadrata yüksəltmədən əvvəl kökü tək tərəfdə təcrid et.
4 $\sqrt{\dots} = a$ şərti yalnız $a \ge 0$ olduqda mümkündür.
5Tapılan hər kök mütləq ilkin tənlikdə yoxlanmalıdır (kənar köklər atılır).

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq