eg1-2.1· Fəsil 2: Tənliklər və bərabərsizliklər· ~14 dəq

Kvadrat tənliklər və Viet teoremi

Diskriminant, köklər düsturu və Viet teoreminin tətbiqləri.

$ax^2 + bx + c = 0$ ( $a \neq 0$ ) kvadrat tənliyinin diskriminantı $D = b^2 - 4ac$ , kökləri isə $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ düsturu ilə tapılır. Viet teoreminə görə $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ və $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ .

Simmetrik ifadələr cəm və hasil vasitəsilə hesablanır: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2$ .

📌Nümunə

Məsələn, $x^2 - 5x + 6 = 0$ üçün $x_1 + x_2 = 5$ , $x_1 \cdot x_2 = 6$ , deməli köklər $2$ və $3$ -dür.

Əsas terminlər

Kvadrat tənlik —

ax^2 + bx + c = 0

(

a \neq 0

) şəklində ikinci dərəcəli tənlik;

a

b

c

əmsallardır.

Diskriminant —

D = b^2 - 4ac

; köklərin sayını və növünü təyin edən kəmiyyət.

Köklər düsturu —

x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

; diskriminant vasitəsilə kökləri verən düstur.

Viet teoremi — Köklərin cəmi

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

, hasili isə

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Qoşa kök —

D = 0

olduqda yaranan bir (təkrarlanan) həqiqi kök.

Vuruqlara ayırma — Kökləri

x_1

x_2

olan üçhədli

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

kimi yazılır.

Diskriminantın işarəsi və köklər

$D$ işarəsi	Həqiqi köklərin sayı	Nümunə
$D > 0$	İki müxtəlif kök	$x^2 - 5x + 6 = 0$
$D = 0$	Bir (qoşa) kök	$x^2 - 4x + 4 = 0$
$D < 0$	Həqiqi kök yoxdur	$x^2 + 2x + 5 = 0$

$D = b^2 - 4ac$ işarəsinə görə köklərin təsnifatı.

Viet teoremi və simmetrik ifadələr

İfadə	Düstur
Köklərin cəmi	$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Köklərin hasili	$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
Kvadratlar cəmi	$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2$
Tərs qiymətlər cəmi	$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$

Cəm və hasil vasitəsilə simmetrik ifadələrin hesablanması.

✎

x^2 - 5x + 6 = 0

tənliyini diskriminantla həll et

1Əmsallar: $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$ .
2Diskriminant: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$ .
3Köklər düsturu: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$ .
4Köklər: $x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$ , $x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$ .

✎Viet ilə

x_1^2 + x_2^2

tap:

x^2 - 6x + 8 = 0

1Cəm və hasil: Viet üzrə $x_1 + x_2 = -\frac{-6}{1} = 6$ , $x_1 \cdot x_2 = \frac{8}{1} = 8$ .
2Simmetrik düstur: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2$ .
3Əvəzləmə: $= 6^2 - 2 \cdot 8 = 36 - 16$ .
4Nəticə: $x_1^2 + x_2^2 = 20$ .

⚠️Diqqət

Cəm üçün işarə dəyişir: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ . $x^2 - 7x + 12 = 0$ -da $b = -7$ olduğundan cəm $+7$ -dir, $-7$ deyil.

🚫Tez-tez səhv

$x_1^2 + x_2^2$ -də yalnız $(x_1 + x_2)^2$ götürmək olmaz: $-2 x_1 x_2$ mütləq çıxılmalıdır. $x^2 - 8x + 12 = 0$ üçün $64 - 24 = 40$ (səhv $64$ deyil).

🚫Tez-tez səhv

Cəmi hasil ilə qarışdırmayın: $\frac{c}{a}$ hasildir, $-\frac{b}{a}$ cəmdir. $x^2 - 11x + 24 = 0$ -da cəm $11$ , hasil $24$ -dür.

💡Qeyd

Əks işarəli köklər (biri müsbət, biri mənfi) yalnız hasil mənfi olduqda, yəni $\frac{c}{a} < 0$ olduqda yaranır.

💡Qeyd

Tənlik qurmaq üçün: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$ . Köklər $2$ və $-5$ üçün $x^2 + 3x - 10 = 0$ .

Qaydalar

1 $D = b^2 - 4ac$ ; $D > 0$ — iki həqiqi kök, $D = 0$ — bir (qoşa) kök, $D < 0$ — həqiqi kök yoxdur.
2 $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ — köklər düsturu.
3Viet: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ , $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ .
4 $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2$ ; $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$ .
5Kökləri $x_1$ , $x_2$ olan tənlik: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$ ; $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq