eg1-1.3· Fəsil 1: Ədədlər və ifadələr· ~14 dəq

Köklər və irrasional ifadələr

Kvadrat və n-ci dərəcədən köklər, onların xassələri və irrasional ifadələrin sadələşdirilməsi.

$n$ -ci dərəcədən kök $\sqrt[n]{a}$ o ədəddir ki, onun $n$ -ci qüvvəti $a$ -ya bərabərdir. Əsas xassələr: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ , $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ , $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ .

Köklü ifadəni sadələşdirmək üçün kök altındakı ədədi tam kvadrat (və ya $n$ -ci qüvvət) vuruğa ayırırıq: məsələn $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ . Məxrəci irrasionallıqdan azad etmək üçün kəsri uyğun ifadəyə vururuq: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , həmçinin $a - \sqrt{b}$ tipli məxrəc üçün qoşma vuruq $a + \sqrt{b}$ işlədilir.

Əsas terminlər

n

-ci dərəcədən kök —

\sqrt[n]{a}

o ədəddir ki, onun

n

-ci qüvvəti

a

-ya bərabərdir.

Kvadrat kök —

\sqrt{a}

(

n=2

halı): kvadratı

a

verən qeyri-mənfi ədəd;

(\sqrt{a})^2 = a

(

a \ge 0

İrrasional ifadə — Tərkibində kök altından çıxmayan kök saxlayan ifadə, məsələn

5\sqrt{2}

Kökün sadələşdirilməsi — Kök altındakı ədədi tam kvadrat vuruğa ayırıb çıxarmaq:

\sqrt{k^2 \cdot m} = k\sqrt{m}

Məxrəci irrasionallıqdan azad etmə — Kəsri uyğun ifadəyə vurub məxrəcdəki kökü aradan qaldırmaq, məsələn

\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}

Qoşma vuruq —

a - \sqrt{b}

məxrəci üçün

a + \sqrt{b}

vuruğu;

(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b}) = a^2 - b

verir.

Köklərin əsas xassələri

Qayda	Düstur	Şərt
Hasilin kökü	$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$	$a \ge 0,\ b \ge 0$
Qisimin kökü	$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$	$a \ge 0,\ b > 0$
Vuruğun çıxarılması	$\sqrt{k^2 \cdot m} = k\sqrt{m}$	$k \ge 0$
Kökün qüvvəti	$(\sqrt{a})^2 = a$	$a \ge 0$
Dərəcə şəklində	$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$	$a \ge 0$

Köklü ifadələrin çevrilməsində istifadə olunan əsas xassələr.

Məxrəci irrasionallıqdan azad etmə

Məxrəc tipi	Vurulan vuruq	Yeni məxrəc
$\sqrt{a}$	$\sqrt{a}$	$a$
$a - \sqrt{b}$	$a + \sqrt{b}$	$a^2 - b$
$\sqrt{a} - \sqrt{b}$	$\sqrt{a} + \sqrt{b}$	$a - b$

Qoşma vuruq işarəni dəyişir; nəticədə məxrəc rasional olur.

✎

\sqrt{75} - \sqrt{12}

ifadəsini sadələşdirin

1Tam kvadrat vuruğa ayır: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3}$ və $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3}$ .
2Vuruğu kök altından çıxar: $\sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ ,\ $\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ .
3Eyni köklü hədləri çıx: $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (5-2)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ .
4Cavab: $3\sqrt{3}$ .

✎

\frac{3}{\sqrt{5} - 1}

kəsrinin məxrəcini irrasionallıqdan azad edin

1Qoşma vuruğu seç: Məxrəc $\sqrt{5} - 1$ olduğundan qoşma vuruq $\sqrt{5} + 1$ -dir.
2Sürət və məxrəci vur: $\frac{3}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{3(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2}$ .
3Məxrəci hesabla: $(\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$ .
4Cavab: $\frac{3(\sqrt{5} + 1)}{4}$ .

🚫Tez-tez səhv

Eyni köklü hədləri çıxarkən kök itmir: $7\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ , $3$ deyil. Yalnız əmsallar çıxılır, kök hissə qalır.

🚫Tez-tez səhv

$(3\sqrt{2})^2$ -də əmsal da kvadrata yüksəlir: $3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$ , yalnız $9$ deyil.

⚠️Diqqət

Köklər toplanarkən kök altındakı ədədlər toplanmır: $\sqrt{98} + \sqrt{2} \neq \sqrt{100}$ . Əvvəlcə hər kökü sadələşdir: $7\sqrt{2} + \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ .

⚠️Diqqət

$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$ tipli ifadə həmişə qeyri-mənfidir: cavab $\sqrt{5} - 2$ -dir ( $2 - \sqrt{5}$ mənfi olar).

💡Qeyd

$\sqrt{m + 2\sqrt{n}}$ ifadəsini $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ şəklində ayırmaq üçün $a + b = m$ və $a \cdot b = n$ olan $a, b$ tap.

Qaydalar

1 $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ və $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ( $a \ge 0$ , $b > 0$ ).
2Kök altından tam kvadrat vuruğu çıxar: $\sqrt{k^2 \cdot m} = k\sqrt{m}$ .
3 $\frac{1}{\sqrt{a}}$ kəsrini $\sqrt{a}$ -ya vur: $\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$ .
4 $a \pm \sqrt{b}$ məxrəci üçün qoşma vuruq ( $a \mp \sqrt{b}$ ) tətbiq et.
5 $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ ; $(\sqrt{a})^2 = a$ ( $a \ge 0$ ).

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq