Область определения, область значений и значение функции
Функция — это правило (соответствие) из одного множества в другое, при котором каждому элементу первого множества ставится в соответствие ровно один элемент второго множества. В записи y=f(x) переменная x называется независимой переменной (аргументом), а y — зависимой переменной.
Совокупность всех допустимых значений аргумента x образует область определения (D(f)), а совокупность всех значений y, которые принимает функция, — область значений (E(f)). Чтобы вычислить значение функции, достаточно подставить заданное число вместо аргумента; например, если f(x)=2x+1, то f(3)=2⋅3+1=7. Тест вертикальной прямой: если любая вертикальная прямая на координатной плоскости пересекает график не более чем в одной точке, то этот график является графиком функции.
📌Пример
Например, если f(x)=3x−5, то f(4)=3⋅4−5=7.
Ключевые термины
Функция — Правило из одного множества в другое, при котором каждому элементу первого множества соответствует ровно один элемент второго множества.
Аргумент (x) — Независимая переменная в записи y=f(x); её значение выбирается произвольно.
Зависимая переменная (y) — Переменная в y=f(x), зависящая от аргумента; её значение определяется значением x.
Область определения (D(f)) — Множество всех допустимых значений аргумента x.
Область значений (E(f)) — Множество всех значений y, которые принимает функция.
Тест вертикальной прямой — Если любая вертикальная прямая пересекает график не более чем в одной точке, то график является графиком функции.
Вычисление значения функции
Функция
Вычисление
Результат
f(x)=3x−1
f(2)=3⋅2−1
f(2)=5
f(x)=5−x
f(3)=5−3
f(3)=2
f(x)=x2−3
f(−2)=(−2)2−3
f(−2)=1
f(x)=∣x∣
f(−5)=∣−5∣
f(−5)=5
Подставляем число вместо аргумента и вычисляем выражение.
Функция — проверка соответствия
Соответствие
Является функцией?
Причина
{(1,2),(2,3),(3,4)}
Да
Каждому x соответствует один y
{(0,5),(1,5),(2,5)}
Да
Одно значение y может повторяться
{(1,2),(1,3),(2,4)}
Нет
x=1 соответствуют два значения y
В функции одному значению x не могут соответствовать два различных значения y.
✎Сложная функция: f(g(3))
1Дано: f(x)=3x+1 и g(x)=x−2, найти f(g(3))=?
2Внутренняя функция: Сначала находим g(3)=3−2=1.
3Внешняя функция: Теперь вычисляем f(1)=3⋅1+1=4.
4Ответ: f(g(3))=4
✎Найти x, если f(x)=1
1Дано: f(x)=2x−5 и f(x)=1, найти x=?
2Составить уравнение: 2x−5=1
3Перенести слагаемое: 2x=1+5=6
4Найти: x=26=3
🚫Частая ошибка
В задачах вида f(x)=2x−5 не путайте f(x) и x: если дано f(x)=1, решите уравнение 2x−5=1 и найдите x=3, а не вычисляйте f(1).
⚠️Внимание
Будьте внимательны при возведении отрицательного аргумента в степень: для f(x)=x2−3 имеем f(−2)=(−2)2−3=1, поскольку (−2)2=4, а не −4.
⚠️Внимание
В сложной функции f(g(x)) вычисление идёт изнутри наружу: сначала g(x), затем результат подставляем в f.
💡Заметка
Одному значению y могут соответствовать несколько значений x (например, {(0,5),(1,5)}), но если одному x соответствуют два значения y — это уже не функция.
💡Заметка
Для возрастающей линейной функции f(x)=x+4 область значений на отрезке [−2;3] находится по граничным точкам: [f(−2);f(3)]=[2;7].
Правила
1Функция: каждому значению x соответствует ровно одно значение y.
2Чтобы найти f(a), нужно подставить a вместо x в выражение f(x).
3Если вертикальная прямая пересекает график в двух точках, то этот график не является функцией.